Entorno: lo que nos rodea

Para la gente de la calle, "entorno de un punto" es el conjunto de puntos próximos al punto dado. En Topología, entorno de un punto es otra cosa diferente. La principal diferencia es que si hablamos de puntos próximos es porque estamos usando una distancia que nos permite saber cómo está de lejos o de cercano el resto de los puntos. Sin embargo, un espacio topológico no es un espacio métrico.

Si X es el espacio topológico y p es un habitante de X, en el lenguaje de la calle un entorno sería lo que "rodea a p". ¿Pero qué significa "rodea a p"? Recordando el concepto de entorno, se dice que un conjunto U es entorno de un punto p si hay un abierto O entre p y U. Por tanto, los entornos vienen dados por conjuntos que contienen a abiertos.

Este habitante p "ve" lo que le rodea si ve también a su alrededor un abierto que lo contiene. Es como si dicho conjunto abierto le abriera los ojos y le hiciera conocer lo que le rodea. Por el contrario, si C es un conjunto que contiene a p y enmedio no hay abiertos, para el habitante p este conjunto C no le permite conocer el espacio donde vive.

Para dicho habitante lo que le interesa es conocer "su entorno más cercano", es decir, entornos "pequeños en tamaño". Hay que recordar que cualquier conjunto que contenga a un entorno es también un entorno. Es al revés, el habitante p quiere conocer cómo es el espacio alrededor suyo y eso significa hallar entornos pequeños. Los ejemplos de la topología discreta y trivial muestran claramente lo anterior.

En el mundo de la topología discreta, para el habitante p el propio conjunto {p} ya es entorno de sí mismo. Conclusión: este entorno (el más pequeño posible) se reduce a él mismo. Nos imaginamos pues que p vive triste, solo y aislado en su mundo porque él ya es entorno.

En el mundo X de la topología trivial, para el habitante p el único entorno es todo el conjunto X: al contrario que antes, el habitante p se encuentra necesariamente rodeado de todos los habitantes de X y por tanto se encuentra feliz al estar acompañado de todo el mundo.