Depende, ¿de qué depende?

Un intervalo abierto (a,b) de R ¿es un conjunto abierto?

Depende...¿de qué depende?

En principio la pregunta está mal formulada. Si se pregunta si tal o cual conjunto es abierto hay que decir en qué espacio topológico. Por tanto, la pregunta sería: un intervalo abierto ¿es un conjunto abierto en el espacio topológico (R,tau)?

El conjunto de los números reales R tiene muchas topologías, y en algunas, el intervalo abierto será un conjunto abierto, y en otras no. Por ejemplo:

1. R con la topología usual. Aquí (a,b) es un conjunto abierto porque forma parte de la base que define la topología.

2. R con la topología discreta. De nuevo, (a,b) es un conjunto abierto, porque cualquier subconjunto de R es un conjunto abierto.

3. R con la topología trivial. Aquí (a,b) no es abierto, porque los únicos abiertos son el vacío y R.

4. R con la topología de Sorgenfrey. Aquí sí es abierto pues (a,b) es la unión de los conjuntos [a+1/n,b), con n un número natural.

5. R con la topología dada por los intervalos de la forma (a,infinito). No es un conjunto abierto porque no es del tipo anterior.

Y así sucesivamente.

Lo mismo pasa para los intervalos cerrados. Un intervalo cerrado [a,b] ¿es un conjunto cerrado? Depende. Primero hay que formular bien la pregunta y decir en qué espacio topológico se está trabajando. Por ejemplo:

1. R con la topología del punto incluído con p=1. Entonces [2,3] es cerrado porque su complementario, que es (-infinito,2) unión (3,infinito) es un conjunto abierto.

2. En el ejemplo anterior, el intervalo [0,1] no es cerrado, porque el complementario, no es abierto al no contener al 1.

De todo lo anterior, el "apellido" abierto o cerrado a un intervalo de R puede dar un poco de confusión.

Y también la confusión de "abierto" y "cerrado". Parece que son conceptos contrarios, cuando no lo son. Hay conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez, pero bueno, ésa es ya otra historia.