En R^2 consideramos dos topologías T_1 y T_2 dadas respectivamente por las bases
Volvamos a probar que T_1 está incluido en T_2 para observar un pequeño detalle. Por el criterio de Haussdorff, hay que probar que dado (z,t) en B_r(x,y), hay que entontrar un elemento
En particular, B_2 tiene que ser de la forma
El detalle es el siguiente. El número a no tiene porqué ser z. En verdad, existen muchos (infinitos) conjuntos B_2 que satisfacen la propiedad. La cuestión es que para probar lo que queremos, basta con encontrar uno. Por tanto, y por cuestión de hacer mejor la demostración, vamos a tomar a=z. En tal caso, si tomamos
¡En un dibujo está más claro!
Pero tengo una duda, si en un exámen nos preguntaran probar que T_1 está dentro de T_2 habría que hacer eso?, encontrar uno de los elementos de B_2 incluido en la bola? O bastaría con explicarlo con palabras o palabras ayudadas de dibujos?
ResponderEliminarPara probar que T_1 está dentro de T_2 tienes que probar que: dado B_1 en beta_1 y x en B_1, existe un B_2 de beta_2 entre x y B_1. Por tanto, no es encontrar un B_2 dentro de B_1 (tienes que trabajar también con x -que es cualquiera en B_1-).
ResponderEliminarEn un examen (o no en un examen), lo que tienes que hacer es explicarlo bien: con formulitas, símbolos, dibujos, etc, como tú quieras, pero bien explicado.