viernes, 10 de octubre de 2008

¡Las bolas no son "redondas"!

Una bola B_r(x) en un espacio métrico (X,d) es el conjunto {y;d(x,y) (menor que) r}. Aunque se llama bola, eso no quiere decir que sea "redonda", es más, casi nunca es redonda. Primero porque X es un conjunto arbitrario (¡no un subconjunto de R^n!), y otro, por que la distancia puede ser "rara". El ejemplo más claro es tomar X un conjunto arbitrario y d(x,y)=0 si x=y, d(x,y)=1 si x no es y. Entonces las bolas se reducen a un punto (si r<=1) o X si r>1.

En el plano R^2 sí podemos dibujar y preguntarnos si las bolas son redondas: esto ocurre cuando tomamos la distancia usual (porque entonces la distancia nos viene determinada por el metro de toda la vida). Pero si tomamos otras distancias, las bolas pueden ser de "formas" diferentes. Ya hemos visto en clase distancias donde las bolas son cuadradas (¡sorprendente! porque la topología que determina es la misma que la de las bolas "redondas").

Finalmente, en un espacio topológico no podemos hablar de bolas (ni redondas ni cuadradas) porque un espacio topológico no es un espacio métrico. Así que no tiene sentido preguntarse ¿cuáles son las bolas de la topología del punto incluido? Dicho de otro modo: los espacios métricos son espacios topológicos (al considerar la topología que genera las bolas), pero no todo espacio topológico es un espacio métrico (ni mucho menos).

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