domingo, 26 de octubre de 2008

Formas de hallar el interior de un conjunto

No hay una manera estándar de hallar el conjunto de puntos interiores de un conjunto en un espacio topológico. Con esta entrada en el blog lo que quiero indicar es que, al menos, para los ejemplos de espacios topológicos que se han dado en el curso hay, en cierto sentido, algunos métodos para hallar el interior del conjunto. Algunos consejos son:

1. Lo primero, y esto es muy importante, hay que saber de qué forma se da el espacio topológico, me refiero a si lo que se conoce son los abiertos, los cerrados, una base de la topología, los entornos o una base de entornos. De esta forma, tendremos que usar la caracterización correspondiente de punto interior. Por ejemplo, si se tiene los abiertos, un punto x es interior a un conjunto si existe un abierto O tal que . Si lo que se tiene es base de entornos, entonces x será interior si existe V de la base de entornos tal que .

2. Haber trabajado anteriormente con el espacio topológico, es decir, estar familiarizado con él. Esto se habrá conseguido si se ha hecho ejercicios en dicho espacio topológico.

3. Si se conoce bien los abiertos, entonces se puede usar el hecho de que el interior de un conjunto es el mayor conjunto abierto dentro del conjunto. Esto se ha visto en R con la topología .

4. Puede hacerse "punto por punto". El interior de un conjunto es un subconjunto del mismo. Por tanto, habría que ir punto a punto del conjunto y preguntarse si es interior o no. En R con la topología usual puede hacerse por ejemplo para el conjunto A=[0,1]. Es claro que los puntos del intervalo (0,1) son interiores. Sólo habría que estudiar si 0 y 1 lo son.

5. En R^n con la topología usual, un dibujo nos permite saber cuáles son los puntos interiores. En este caso, usamos base de entornos en cada punto (bolas centradas en el punto) y las bolas son fáciles de dibujar. Cuando uno hace un dibujo tiene que tener claro si lo que se está haciendo es un punto general, o el punto tiene alguna característica especial.

8 comentarios:

  1. no me gustan los entornos, no entiendo ná!!!!

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  2. Recordar: no hay que hacer comentarios firmando como "Anónimo", porque de esa forma no me puedo dirigir personalmente.

    Una cosa es que a uno no le guste los entornos (es cuestión de gustos) y otra diferente, que no entienda. Pero siempre hay soluciones para todo.

    Si no te gusta los entornos, usa abiertos, o base de abiertos, o base de entornos. Por ejemplo, si estás calculando el interior de un conjunto, hay una caracterización en términos de abiertos, otra en términos de base de abiertos y otra en términos de base de entornos. Además, en general, la mayor parte de los ejemplos que se ha mostrado de espacios topológico NO vienen dados mediante entornos. Concluyendo: si no te gusta entornos, usa otra cosa.

    Si no entiendes nada, pregunta. Pregunta al profesor, que para eso está y para eso se le paga. Lo puedes hacer en clase (cuando quieras y las veces que quieras); lo puedes hacer en tutorías (cuando quieras y las veces que quieras); y lo puedes hacer a través del correo electrónico (cuando quieras y las veces que quieras). Concluyendo: si no entiendes nada, pregunta.

    Pero también te digo que estudies. Ya se dijo al principio del curso y parece un tópico: hay que estudiar desde el principio, poco a poco, de memoria y haciendo ejercicios. Recuerda que esto era un compromiso por parte del alumno (y del profesor).

    Vuelve a la entrada del 30 de septiembre y léela con serenidad.

    Finalmente, te digo que, aunque yo me sé más o menos la asignatura, yo le dedico bastante tiempo a repasar los contenidos, qué voy a explicar, cómo hacer los ejercicios, las diferentes formas de hacerlos, etc. Todo esto es para que sepas que yo sigo estudiando y trabajando en la asignatura y le dedico tiempo. Si eso lo hace el profesor, el estudiante de la asignatura lo tiene que hacer con más interés.

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  3. Ante todo gracias, pero ahora tengo una duda de entornos y no puedo decir mi nombre (me da vergüenza) Si me aclara la duda prometo no publicar mas como anonimo, no obstante evitare en la medida de lo posible los entornos.
    si conocemos una base de entornos, conocemos los entornos (¿cuales son?)eso aparece en el teorema 1.3.9 de los apuntes pero no me queda claro, me lo podria aclarar un poco, gracias.

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  4. Sí, es lo que aparece en la demostración, al principio. Si uno tiene una base de entornos, los entornos son los conjuntos que contiene dentro un elemento de la base de entornos.

    Por otro lado, creo que no se ha dado ningún ejemplo de espacios topológicos diciendo cuáles son los entornos.

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  5. alguien puede decirme como demostrar que el interior de un subespacio propio de Rn es vacio.

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  6. Será el de un "subespacio vectorial" o un "subespacio afín". Puedes probar que, después de un homeomorfismo, un subespacio es un "producto". De ahí, a probar que su interior es vacío, queda muy poquito

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  7. Hola que tal? Yo quiero saber que para los dominios de funciones complejas,tienen que ser abiertos,ahora mi duda es,porque no puedo elegir un cerrado?

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