Número de Lebesgue de un recubrimiento

Propongo como ejercicio para clase el lema del recubrimiento de Lebesgue: sea (X,d) un espacio métrico compacto y O_i un recubrimiento por abiertos de X. Entonces existe r>0 tal que para cada x de X, la bola B_r(x) se encuentra incluida en algún abierto O_i.

El número r se llama el número de Lebesgue del recubrimiento O_i.

Operaciones topológicas y compacidad

¿Cómo se comporta la propiedad de compacidad respecto de las operaciones topológicas?

1. ¿El interior de un compacto es compacto?
2. ¿La adherencia de un compacto es compacto?
3. ¿El exterior de un compacto es compacto?
4. ¿La frontera de un compacto es compacto?
   

Buscad ejemplos de que sí o de que no. Estudiad también si hay un resultado que diga, por ejemplo, "la adherencia de un conjunto compacto es compacto" y similares en los otros casos. También si hay que poner alguna hipótesis más para que sea cierto el resultado.

Empiezo yo con dos ejemplos.

A) En un espacio Haussdorff, la adherencia de un compacto es un conjunto compacto: evidente, ya que un compacto debe ser cerrado, luego coincide con su adherencia.

B) En la topología discreta, se sabe que los compactos son los conjuntos finitos. Por tanto, si A es un conjunto compacto (es finito), entonces su interior, su adherencia y su frontera son compactos pero su exterior nunca es compacto: el interior y la adherencia de A es A, la frontera es el conjunto vacío y el exterior es el complementario de A.

Operaciones de conjuntos y compacidad

¿Cómo se comporta la propiedad de compacidad respecto de las operaciones de conjuntos?

1. ¿La intersección de compactos es compacto?
2. ¿La unión de compactos es compacto?
3. ¿El complementario de compacto es compacto?

Buscad ejemplos de que sí o de que no.

También ejemplos de espacios topológicos concretos donde SIEMPRE sea cierto o donde SIEMPRE no sea cierto.

Empiezo yo con dos ejemplos.

A) En un conjunto finito, todos los conjuntos son compactos. Luego la respuesta a las anteriores preguntas es SIEMPRE sí.

B) En la topología discreta, se sabe que los compactos son los conjuntos finitos. Por tanto, la intersección de compacto siempre es compacto y la unión de compactos es siempre compacto. Y nunca el complementario de un compacto es compacto (suponemos que el conjunto es infinito, para no caer en el caso A)).

Compacidad y subconjuntos cerrados

En un espacio Haussdorff, los conjuntos compactos son cerrados. En clase hemos visto un ejemplo de un espacio (topología de los complementos finitos) cuyos compactos no son necesariamente cerrados.

1. ¿Hay más ejemplos de lo mismo?
2. ¿Hay ejemplos de espacios no Haussdorff donde todos los compactos son cerrados?
3. ¿Hay ejemplos de espacios donde todos los compactos (o algunos) son abiertos?

Compacidad, conexión, intervalos

En clase se ha probado que el intervalo [0,1] es compacto (con la topología usual). La prueba iba del siguiente modo. Sea O_i un recubrimiento por abiertos de [0,1]. Se definía un conjunto A como aquéllos números x de [0,1] tales que el intervalo [0,x] tiene un subrecubrimiento finito por abiertos de los O_i.

Se probaba que A era un conjunto no vacío, abierto y cerrado. Como el intervalo [0,1] es CONEXO, el conjunto A coincide con [0,1]: en particular, 1 pertenece a A, y así [0,1] tiene un subrecubrimiento finito.

Por tanto, para probar que [0,1] es compacto se ha usado que [0,1] es conexo. Entonces ¿para probar que un intervalo cerrado es compacto hay que demostrar previamente que es conexo? ¿hay alguna relación, en este caso, entre compacidad y conexión?

El ejercicio que propongo es buscar (en la bibliografía, libros, etc) una demostración de que [0,1] es compacto sin usar que es conexo.

Cardinalidad

Ya que Azahara preparó algo sobre cardinalidad, lo dejamos en el blog.

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El cardinal indica intuitivamente el número o cantidad de los elementos de un conjunto.El concepto de número cardinal fue “inventado” por Georg Cantor en 1874 como un instrumento para comparar conjuntosinfinitos. Dados dos conjuntos, se dicen que están relacionados si existe una biyección entre ellos. Esto define una relación de equivalencia. Un cardinal sería una clase de equivalencia mediante esta relación.

Denotamos A_n=\{1,\ldots,n\}. Si un conjunto X está en la clase de equivalencia de algún A_n, se dice que es finito y que su cardinal es X=n. En caso contrario, se dice que tiene cardinal infinito. La clase de equivalencia del conjunto vacío es el cardinal 0.

Si A tiene cardinal n, entonces el conjunto de partes de A tiene cardinal 2^n. Por ejemplo, si A es el vacío, A=0 y P(A)=2^0=1, ya que el único subconjunto del conjunto vacío es el vacío (¡hay un subconjunto!).

Un conjunto A tiene menor (o igual) cardinal que B si hay una aplicación inyectiva de A en B. Por tanto, si A tiene menor cardinal que B y B tiene menor cardinal que A, entonces A y B tienen el mismo cardinal (están en la misma clase de equivalencia).

Un conjunto se dice numerable si es finito o tiene el cardinal del conjunto de los números naturales N.

El primer cardinal infinito es el de N: esto quiere decir que si A es un conjunto infinito, entonces existe una aplicación inyectiva de N en A.

El conjunto de los números reales R no es biyectivo con N (R no es numerable).

El segundo cardinal infinito es el de R: esto quiere decir que si A es un conjunto infinito, con distinto cardinal que N, entonces existe una aplicación inyectiva de R en A.

(por Azahara)

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Todo lo anterior enlaza con la historia del hotel (con un número infinito de habitaciones) que siempre tenía habitaciones para cualquier persona que fuera a hospedarse. Un día el hotel estaba lleno. Llegó una persona que quería alojarse. Entonces el recepcionista llamó a todos los huéspedes y les dijo que se pasaran a la siguiente habitación. De esta forma, la habitación número 1 quedó libre para la persona que había llegado.

Una noche, llegó un autobús con infinitos pasajeros que quería alojarse en el hotel, que estaba lleno. El recepcionista mandó a todos los huéspedes a cambiarse a la habitación cuyo número fuera el doble de la que tenían entonces. De esta forma, los huéspedes ocuparon las habitaciones pares, y dejaron libres todas las impares para que se alojaran los recién llegados.

El Topologicón

La profesora Marta Macho (EHU) me hace observar de un comic sobre topología realizado por Jean-Pierre Petit y que se llama "El topologicón". Podéis verlo aquí y éste es el autor

Resulta curioso cómo es posible hacer un cómic de más de 70 páginas sobre topología. Por supuesto os recomiendo que lo leáis.

Como podéis ver en la introducción, el autor es astrofísico y antiguo director del CNRS. Se dedica a divulgar la ciencia a través de cómics en numerosos idiomas. Otras obras son "El Geometricón" y "El Economicón". Todo ello se enmarca en un proyecto más general cuya página de internet es http://www.savoir-sans-frontieres.com/

Un libro de ejercicios de Topología

En la dirección de internet

http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/eng-book.pdf

puede uno encontrar un libro en formato pdf titulado "Elementary Topology. Problem Textbook"O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, N. Yu.Netsvetaev, V.M. Kharlamov, American Mathematical Society, 2008.

Este libro es un libro de problemas de topología. La primera parte se corresponde con "Topología General" y la segunda, sobre "Topología Algebraica". El libro consta de 415 páginas, lo que significa que estos autores han trabajado mucho en la realización del mismo. Por tanto, muchos de los asuntos tratados se salen fuera del temario de nuestra asignatura. Sin embargo, otros muchos (también) ejercicios están al alcance del curso y pueden ser resueltos.

En el libro, al final de cada capítulo se pone unas indicaciones para resolver, y también al final del libros, existe todo un capítulo dedicado a las soluciones de los problemas.

Recomiendo imprimirlo y encuadernarlo. Y, por supuesto, leerlo con atención.

Convergencia de sucesiones y ANI

La propiedad ANI permite caracterizar los conceptos topológicos en términos de sucesiones. Esto ya sucedía para espacios métricos (los cuales eran espacios ANI). Por ejemplo, un punto x es interior a A si y sólamente si dada una sucesión convergente a x, a partir de cierto lugar de la sucesión, ésta se encuentra en A. Realizamos su demostración.

La implicación "hacia la derecha" es siempre cierta en cualquier espacio topológico. Veamos la implicación "hacia la izquierda".

Sea \beta_x=\{U_n;n\in N\} una base numerable de entornos de x. Cambiamos esta base por otra numerable, que llamaremos \gamma_x=\{V_n;n\in N\} de forma que V_1\supset V_2\supset V_3\supset\ldots. Basta con tomar V_n=U_1\cap\ldots\cap U_n. Que la familia \gamma_x sea base de entornos es evidente, ya que dado un entorno U, dentro habrá algún U_n, y dentro de éste se encuentra V_n.

Si el punto no fuera interior, ningún entorno V_n se encuentra incluido en A. Por tanto, existe x_n\in V_n pero x_n\not\in A. Probamos ahora que\{x_n\}\rightarrow x, lo cual se llegaría a una contradicción pues ningún punto de la sucesión se encuentra en A. Sea U un entorno de x. Como \gamma_x es base de entornos, existe m tal que V_m\subset U. Finalmente, si n es mayor que m, es evidente que x_n\in V_n\subset V_m\subset U.

Igual que se ha hecho para punto interior, se puede hacer para punto adherente, es decir, x es adherente a un conjunto A si y sólamente si existe una sucesión de puntos de A que converge a x.

Examen del tema 5

El examen del tema 5 "Axiomas de separación y numerabilidad" será esta semana, el jueves o el viernes. Como siempre, en horario de clase.

También recuerdo que la participación en clase, haciendo ejercicios en la pizarra, o la participación en el blog, cuenta como nota para dicho examen.

En las últimas entradas del blog se han propuesto ejercicios, para que sean resueltos en el mismo blog.

Complementos finitos y ANI y ANII

Si X es un conjunto con la topología de los complementos finitos, y X no es numerable, entonces no es ANI.

Supongamos que lo fuera y sea \beta_x=\{X-F_n;F_n\mbox{finito}, n\in N\} una base numerable de entornos de x. Como X noes numerable, tomamos un elemento y que no pertenece a ningún F_n con y\not= x. El conjunto U=X-\{y\} es un entorno de x, pero no existe algún conjunto F_n tal que X-F_n\subset X-\{y\}.

Queda por estudiar si X satisface la propiedad ANII, tanto si X es numerable como no.

Casos 'triviales" de ANI y ANII

Cuando estudiamos si un espacio topológico satisface algunos de los axiomas de numerabilidad ANI o ANII, hay casos muy sencillos, de los cuales, apenas hay que hablar. Destacamos algunos.

• Si el espacio es ANII, entonces es ANI.
• Si la topología es numerable, entonces es ANII.
• Si el conjunto es finito, es ANII.
• Todo espacio métrico es ANI.
• Si hay una base (o base de entornos) más pequeña que cualquier otra, y no es numerable, entonces el espacio no es ANII (o ANI).
• Cualquier espacio que sea subespacio topológico, producto topológico u homeomorfo a un espacio topológico que satisface la propiedad.

Como ejemplos, bastan los siguientes ¿la esfera satisface ANII?:. Sí, porque es un subconjunto de un espacio euclídeo, que lo es. También, porque es un espacio métrico.

¿un toro S^1 x S^1 satisface ANI? Sí, porque es producto topológico de espacios ANI.

Por último, entre los casos 'triviales' se encuentran aquellos espacios topológicos que han aparecido a lo largo del curso y de los que hemos obtenido una base de abiertos o una base de entornos para cualquier punto. Si son numerables, entonces el espacio es ANII o ANI, respectivamente.

Lema de Uryshon y teorema de Tietze

El lema de Uryshon y el teorema de Tietze caracterizan los espacios normales. Por tanto, los enunciados del lema y del teorema son equivalente. Pregunto si es posible encontrar una demostración de que ambos resultados sean equivalentes, sin pasar por el hecho de que caracterizan espacios normales.

Por ejemplo, se me ocurre lo siguiente para la implicación Tietze -> Uryshon. Sean F y F' dos cerrados disjuntos y se define una aplicación f en su unión que me lleve F en 0 y F' en 1. Esta aplicación es continua en un cerrado, luego por el teorema de Tietze se extiende a una aplicación g de X en R. Pero R es homeomorfo a un intervalo abierto, que podría ser elegido para que contuviera a [0,1] ¿cómo se seguiría?

Espacio regular que no es Haussdorff

En esta entrada mostramos un ejemplo de un espacio regular que no es Haussdorff.

Sea X=\{a,b,c\} con la topología

\tau=\{\emptyset,X, O:=\{a\},G:=\{b,c\}\}.

Este espacio no es Haussdorff pues los puntos b y c no se pueden separar por abiertos: todo entorno de ambos puntos debe de contener al menos el abierto G.

Es espacio es regular. La familia de cerrados coincide con la de abiertos. Tenemos sólo dos posibilidades: que el punto sea a y el cerrado G o que el punto sea b (ó c) y el abierto sea O. En el primer caso, el entorno buscado es O y el abierto G. En el segundo, el entorno es G y el abierto O.

(por Ágata)

Estudio de separación de un espacio topológico

Esta entrada está dedicada a estudiar los axiomas de separación del siguiente espacio (conocido): X=[-1,1] y la topología es

\tau=\{\emptyset,X\}\cup\{O\subset X;(-1,1)\subset O\}\cup\{O\subset X;0\not\in O\}

Las respuestas se deben hacer a través de los comentarios a esta entrada. Hay que razonar. También discutir sobre las dificultades en resolver el problema.

Separación: algunos ejemplos

En la entrada anterior, aparecía la topología trivial como ejemplo de un espacio topológico que era regular pero no Haussdorff. Pregunta: alguien podría poner otro ejemplo.

Otra pregunta: ¿y un espacio que no fuera ni regular ni T_1?

Más preguntas: aparte de los que se han explicado en clase, buscar un ejemplo de un espacio normal pero no regular; y de un espacio que sea regular pero no normal.

Hoy he hablado sobre el siguiente libro:

Counterexamples in Topology, de Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach, Jr. Dover Publications, 1995. Esta edición es una nueva de otra anterior. Sorprendentemente (para mí), el propio libro tiene una entrada en la Wikipedia, la cual de por sí es interesante de leer. Véase aquí.

El resumen del libro es el siguiente: "Over 140 examples, preceded by a succinct exposition of general topology and basic terminology. Each example treated as a whole. Over 25 Venn diagrams and charts summarize properties of the examples, while discussions of general methods of construction and change give readers insight into constructing counterexamples. Includes problems and exercises, correlated with examples."

La caracterización de espacio regular

Se ha caracterizado un espacio regular como aquél que cada punto tiene una base de entornos cerrados. En el espacio trivial, la (única) base de entornos para cada punto está formada por un único entorno, que es el espacio total, el cual es evidentemente cerrado. Por tanto, la topología trivial es regular. Este espacio no es Haussdorff.

Del mismo modo, la topología de los complementos finitos no es regular, ya que ningún entorno de un punto es cerrado: si U es un entorno de un punto, dentro existe un abierto O, es decir, un conjunto cuyo complementario es finito. Entonces X-U está incluido en X-O, y por tanto, X-U es finito. Como consecuencia, U no es finito (porque X es infinito), y no se puede ser cerrado.

La caracterización permite probar que la propiedad es hereditaria (en clase se había demostrado usando la definición de regularidad). En efecto, si X es un espacio regular, A un subconjunto suyo y x un elemento de A, se sabe que existe una base de entornos cerrados (en X). Intersecamos dicha base con A. Se sabe que es una base de entornos en la topología relativa de A. Además, cada intersección es un cerrado en A (intersección de un cerado de X con el conjunto A). Por tanto, A es un espacio regular.

Un espacio topológico que no es T_0

Se sabe que el espacio topológico trivial no es $T_0$. No es el único ejemplo.

Sea $X$ un conjunto con con al menos tres elementos, sean $p$ y $q$ dos elementos concretos y sea T la siguiente topología: un conjunto $O$ es abierto si contiene a $p$ y a $q$. Esta topología es la topología de "los dos puntos incluidos". Es evidente que el espacio no es la topología trivial. Este espacio no es $T_0$, ya que la propiedad falla justamente en los puntos $p$ y $q$: todo entorno de $p$, debe contener a un abierto, y por tanto, a $p$ y a $q$. De la misma forma, todo entorno de $q$ contiene a $p$. Por tanto, el espacio no es $T_0$.

La diferencia con el espacio trivial es que la propiedad $T_0$ no se satisface sólo para los puntos $p$ y $q$ (en la topología trivial sucedía para cualquier par de puntos). Exactamente, sea x un punto distinto de $p$ y $q$. Entonces $\{p,q\}$ es un entorno de $p$ que no contiene a $x$. Sean ahora $x$ e $y$ dos puntos distintos y distintos ambos de $p$ y $q$. Entonces $\{x,p,q\}$ es un entorno de $x$ que no contiene a $y$. De la misma forma, $\{y,p,q\}$ es un entorno de $y$ que no contiene a $x$.

Axiomas de separación y espacios métricos

Como veremos en este tema, los espacios métricos satisfacen todos los axiomas de separación que vamos a definir. Por tanto, y en cierto sentido, el hecho de que un espacio topológico satisface uno u otro axioma, nos va a indicar cuánto de análogo es a un espacio métrico. El ejemplo más claro lo tenemos con el axioma Haussdorff. Un espacio métrico es Haussdorff, y en tal caso, ya se probó que toda sucesión convergente tiene un límite único.

Por tanto, si tomamos un espacio no Haussdorff, podrá haber sucesiones con diferentes límites. El espacio de Sierpinski es un ejemplo. Sea $X=\{a,b\}$ con la topología $T=\{\emptyset,X,\{a\}\}.$ Este espacio no es Haussdorff ya que el único entorno de $b$ es $X$, que contiene al elemento $a$. En dicho espacio, tomamos la sucesión $\{x_n=a\}_n.$ Esta sucesión tiene dos límites, a saber, $a$ y $b$. Es evidente que converge a $a$, por ser una sucesión constante (en todo espacio topológico, toda sucesión constante es convergente y un límite es el elemento que se va repitiendo en la sucesión). Pero además, también converge a $b$: sea $U$ un entorno de $b$. Por tanto, $U=X$, y todo elemento de la sucesión cae dentro de $U$. Esto dice que $b$ es un límite.

En el espacio de Sierpinski, no todas las sucesiones convergentes tienen varios límites. Por ejemplo, la sucesión constantemente igual a $b$, converge a $b$, pero a no es un límite suyo: en tal caso, dado $U=\{a\}$ entorno de $a$, a partir de un cierto lugar, la sucesión debería estar en $U$, lo cual es falso.