En un espacio Haussdorff, los conjuntos compactos son cerrados. En clase hemos visto un ejemplo de un espacio (topología de los complementos finitos) cuyos compactos no son necesariamente cerrados.
1. ¿Hay más ejemplos de lo mismo?
2. ¿Hay ejemplos de espacios no Haussdorff donde todos los compactos son cerrados?
3. ¿Hay ejemplos de espacios donde todos los compactos (o algunos) son abiertos?
Como ejemplo de un espacio en el que los compactos no son necesariamente cerrados, se puede poner la topología a derechas. De hecho en esta topología ningún cerrado es compacto, ya que por una caracterización vista en clase, un conjunto es compacto sii tiene mínimo, y con esta topología, ningún cerrado tiene mínimo
ResponderEliminarComo ejemplo al caso tres podríamos citar (de nuevo) la topología a derechas, ya que como he citado, los conjuntos son compactos sii tienen mínimo, y por tanto los abiertos de la forma [x, +infinito), son compactos. Ahora bien, hay compactos que no son abiertos ( Ej: [1,5]) y abiertos que no son compactos ( Ej: (3,+ infinito)).
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