En esta entrada mostramos un ejemplo de un espacio regular que no es Haussdorff.
Sea
X=\{a,b,c\} con la topología \tau=\{\emptyset,X, O:=\{a\},G:=\{b,c\}\}. Este espacio no es Haussdorff pues los puntos b y c no se pueden separar por abiertos: todo entorno de ambos puntos debe de contener al menos el abierto G.Es espacio es regular. La familia de cerrados coincide con la de abiertos. Tenemos sólo dos posibilidades: que el punto sea a y el cerrado G o que el punto sea b (ó c) y el abierto sea O. En el primer caso, el entorno buscado es O y el abierto G. En el segundo, el entorno es G y el abierto O.
(por Ágata)
Ahh vale!!ya me he dado cuenta que auG se pudiese por como antes he puesto, no sería abierto no??
ResponderEliminarNo se me ha publicado el anterior comentario!!!Estaba preguntado que porqué G no se puede poner como {b}U{c}??eso serían dos abiertos así puestos??es que este ejemplo no entiendo bien porqué no es Haussdorff
ResponderEliminarNo es lo mismo el conjunto {{b},{c}} que el conjunto {b,c}, el cardinal del primer conjunto es 2 y el del segundo es 1.En este caso el abierto G es {b,c}.
ResponderEliminarPara ver que este espacio no es Haussdorff, hay que encontrar algún par de puntos que satisfagan que para cualesquiera entornos de uno y otro la intersección de ambos entornos no sea vacía.Empiezo cogiendo el punto a y b (o c da lo mismo). Los únicos entornos del punto a son el propio punto, por ser abierto, o el total, pero nos quedamos con el entorno más pequeño que es el propio punto ({O}).Para el punto b los entornos de este son o {G},que contiene a b y es abierto,o el total,pero nos quedamos con {G} por ser mas pequeño.En este caso la intersección de {O} y {G} es vacía, puede ser por ahora que el espacio sea Haussdorff pero probamos con otro par de puntos,con b y c. Vemos claramente que los entornos de ambos puntos coinciden ({G} o {X})por lo tanto la intersección de ellos va a ser como mínimo el conjunto G que no es vacío entonces este espacio no es T2.
(Creo que me incluyo en ese trauma de poner llaves)