La propiedad ANI permite caracterizar los conceptos topológicos en términos de sucesiones. Esto ya sucedía para espacios métricos (los cuales eran espacios ANI). Por ejemplo, un punto x es interior a A si y sólamente si dada una sucesión convergente a x, a partir de cierto lugar de la sucesión, ésta se encuentra en A. Realizamos su demostración.
La implicación "hacia la derecha" es siempre cierta en cualquier espacio topológico. Veamos la implicación "hacia la izquierda".
Sea
\beta_x=\{U_n;n\in N\} una base numerable de entornos de x. Cambiamos esta base por otra numerable, que llamaremos \gamma_x=\{V_n;n\in N\} de forma que V_1\supset V_2\supset V_3\supset\ldots. Basta con tomar V_n=U_1\cap\ldots\cap U_n. Que la familia \gamma_x sea base de entornos es evidente, ya que dado un entorno U, dentro habrá algún U_n, y dentro de éste se encuentra V_n.Si el punto no fuera interior, ningún entorno V_n se encuentra incluido en A. Por tanto, existe
x_n\in V_n pero x_n\not\in A. Probamos ahora que\{x_n\}\rightarrow x, lo cual se llegaría a una contradicción pues ningún punto de la sucesión se encuentra en A. Sea U un entorno de x. Como \gamma_x es base de entornos, existe m tal que V_m\subset U. Finalmente, si n es mayor que m, es evidente que x_n\in V_n\subset V_m\subset U.Igual que se ha hecho para punto interior, se puede hacer para punto adherente, es decir, x es adherente a un conjunto A si y sólamente si existe una sucesión de puntos de A que converge a x.
Lo que no entiendo de esta demostración es que si definimos V_n como unión de U_1 hasta U_n, ¿por qué V_1 contiene a V_2 y así sucesivamente? ¿Debería ser al revés, no?
ResponderEliminar¡claro! al revés, pero en vez de unión, intersección.
ResponderEliminar¿la sucesiones constantes siempre convergen o puede haber topologías en las que las sucesiones constantes no converjan?
ResponderEliminarSiempre convergen. Sea a un elemento del espacio y sea la sucesión x_n=a, para cualquier n. Esta sucesión constante satisface lim {x_n}=a. Sea U un entorno de 'a'. Sea toma n_0=1. Entonces para cualquier n mayor o igual que n_0, x_n pertenece a U, pues x_n=a, y 'a' pertenece a U, ya que U es entorno de 'a'.
ResponderEliminarNota: Se ha probado que 'a' es UN límite, pero podría haber más. En verdad, hay topologías en que las sucesiones constantes pueden tener más límites!