- ¿La intersección de compactos es compacto?
- ¿La unión de compactos es compacto?
- ¿El complementario de compacto es compacto?
También ejemplos de espacios topológicos concretos donde SIEMPRE sea cierto o donde SIEMPRE no sea cierto.
Empiezo yo con dos ejemplos.
A) En un conjunto finito, todos los conjuntos son compactos. Luego la respuesta a las anteriores preguntas es SIEMPRE sí.
B) En la topología discreta, se sabe que los compactos son los conjuntos finitos. Por tanto, la intersección de compacto siempre es compacto y la unión de compactos es siempre compacto. Y nunca el complementario de un compacto es compacto (suponemos que el conjunto es infinito, para no caer en el caso A)).
En un espacio métrico la unión infinita de compactos no es compacto. U(n€N)[1/n , 1]=(0,1] (que no es compacto por no ser cerrado)
ResponderEliminarla union de compactos no tiene porque ser compacta,por ejemplo,dados dos subconjuntos de R no compactos como son:A=[0,3) y B=(2,4],los cuales no son compactos de R,por no ser cerrados,tienen como union [0,4]
ResponderEliminarAna Isabel entonces lo que querrás decir es que la unión de dos subconjuntos no compactos puede dar un subconjunto compacto en R.¿No?
ResponderEliminarEn clase vimos que la intersección de compactos es compacto, si estamos en un espacio Haussdorff; pero esto no tiene por qué cumplirse si el espacio no es Haussdorff, veamos un ejemplo de ello:
ResponderEliminarSea (R, topología a derechas) sabemos que no es Haussdorff, ya que todos los abiertos tienen intersección no vacía (excepto cualquier abierto con el vacío).
Además vimos un resultado, por el que podemos afirmar que un subconjunto A es compacto, sii tiene minimo.
Tomamos A = [0,4) compacto (porque tiene minimo)
B = [2,16) compacto (porque tiene minimo)
y la intersección de ambos es (2,4) que no tiene mínimo, y por lo tanto no es compacto.
La inersección de A y B es [2,4) que sí tiene mínimo.
Eliminarsi tienes razon antonio,me he equivocao,pero creo que todos me habeis entendido:la union de dos conjuntos no compactos,pueden dar una union compacta
ResponderEliminarEl complementario de un compacto tampoco tiene por qué ser compacto. El ejemplo mas sencillo lo tenemos en (R,T usual) : si tomamos [0,1] es compacto por ser cerrado y acotado, en cambio su complementario : (-infinito, 0)U(1,+infinito), no es compacto (no es cerrado ni acotado).En cambio, esto no quiere decir que el complementario de un subconjunto compacto no pueda ser compacto, un contraejemplo lo tenemos en la topología de los complementos finitos: en clase vimos que todo abierto es cerrado, de hecho por la demostración, podemos afirmar que todo subconjunto de la topologia de los complementos finitos es compacto. Pero el complementarios de un abierto (un cerrado) es un conjunto finito, que también es compacto por varias razones: por ser un subconjunto cuya topología inducida es la topología de los complementos finitos, o por ser un subconjunto cerrado de un espacio compacto
ResponderEliminarAzahara pero la intersección de [0,4) y [2,16) sería [2,4) que también es compacto, por tener mínimo (en el primer comenentario)
ResponderEliminaruisss es verdad, creo que me equivoqué al escribirlo, pero la verdad ahora mismo no me acuerdo como era, buscaré otro ejemplo.Gracias Antonio
ResponderEliminarAzahara encontraste ese ejemplo?
ResponderEliminarsea A,B conjuntos finitos demostrar que A UNIÓN B es finito:
ResponderEliminarporfis ayúdenme con este ejercicio:
como muetro que si A y B son compactos entonces A+B es cerrado
ResponderEliminar¿A+B es la unión?
ResponderEliminarme pueden dar un ejemplo de una unión no finita de compactos que sea compacto?
ResponderEliminaro alguna idea de como demostrar eso?
ResponderEliminarCómo puedo demostrar que la unión finita de compacto es también compacto
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