jueves, 26 de marzo de 2009

Operaciones de conjuntos y compacidad

¿Cómo se comporta la propiedad de compacidad respecto de las operaciones de conjuntos?

  1. ¿La intersección de compactos es compacto?
  2. ¿La unión de compactos es compacto?
  3. ¿El complementario de compacto es compacto?
Buscad ejemplos de que sí o de que no.

También ejemplos de espacios topológicos concretos donde SIEMPRE sea cierto o donde SIEMPRE no sea cierto.

Empiezo yo con dos ejemplos.

A) En un conjunto finito, todos los conjuntos son compactos. Luego la respuesta a las anteriores preguntas es SIEMPRE sí.

B) En la topología discreta, se sabe que los compactos son los conjuntos finitos. Por tanto, la intersección de compacto siempre es compacto y la unión de compactos es siempre compacto. Y nunca el complementario de un compacto es compacto (suponemos que el conjunto es infinito, para no caer en el caso A)).

10 comentarios:

  1. En un espacio métrico la unión infinita de compactos no es compacto. U(n€N)[1/n , 1]=(0,1] (que no es compacto por no ser cerrado)

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  2. la union de compactos no tiene porque ser compacta,por ejemplo,dados dos subconjuntos de R no compactos como son:A=[0,3) y B=(2,4],los cuales no son compactos de R,por no ser cerrados,tienen como union [0,4]

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  3. Ana Isabel entonces lo que querrás decir es que la unión de dos subconjuntos no compactos puede dar un subconjunto compacto en R.¿No?

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  4. En clase vimos que la intersección de compactos es compacto, si estamos en un espacio Haussdorff; pero esto no tiene por qué cumplirse si el espacio no es Haussdorff, veamos un ejemplo de ello:
    Sea (R, topología a derechas) sabemos que no es Haussdorff, ya que todos los abiertos tienen intersección no vacía (excepto cualquier abierto con el vacío).
    Además vimos un resultado, por el que podemos afirmar que un subconjunto A es compacto, sii tiene minimo.
    Tomamos A = [0,4) compacto (porque tiene minimo)
    B = [2,16) compacto (porque tiene minimo)
    y la intersección de ambos es (2,4) que no tiene mínimo, y por lo tanto no es compacto.

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  5. si tienes razon antonio,me he equivocao,pero creo que todos me habeis entendido:la union de dos conjuntos no compactos,pueden dar una union compacta

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  6. El complementario de un compacto tampoco tiene por qué ser compacto. El ejemplo mas sencillo lo tenemos en (R,T usual) : si tomamos [0,1] es compacto por ser cerrado y acotado, en cambio su complementario : (-infinito, 0)U(1,+infinito), no es compacto (no es cerrado ni acotado).En cambio, esto no quiere decir que el complementario de un subconjunto compacto no pueda ser compacto, un contraejemplo lo tenemos en la topología de los complementos finitos: en clase vimos que todo abierto es cerrado, de hecho por la demostración, podemos afirmar que todo subconjunto de la topologia de los complementos finitos es compacto. Pero el complementarios de un abierto (un cerrado) es un conjunto finito, que también es compacto por varias razones: por ser un subconjunto cuya topología inducida es la topología de los complementos finitos, o por ser un subconjunto cerrado de un espacio compacto

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  7. Azahara pero la intersección de [0,4) y [2,16) sería [2,4) que también es compacto, por tener mínimo (en el primer comenentario)

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  8. uisss es verdad, creo que me equivoqué al escribirlo, pero la verdad ahora mismo no me acuerdo como era, buscaré otro ejemplo.Gracias Antonio

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  9. Azahara encontraste ese ejemplo?

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  10. sea A,B conjuntos finitos demostrar que A UNIÓN B es finito:
    porfis ayúdenme con este ejercicio:

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