En clase se ha probado que el intervalo [0,1] es compacto (con la topología usual). La prueba iba del siguiente modo. Sea O_i un recubrimiento por abiertos de [0,1]. Se definía un conjunto A como aquéllos números x de [0,1] tales que el intervalo [0,x] tiene un subrecubrimiento finito por abiertos de los O_i.
Se probaba que A era un conjunto no vacío, abierto y cerrado. Como el intervalo [0,1] es CONEXO, el conjunto A coincide con [0,1]: en particular, 1 pertenece a A, y así [0,1] tiene un subrecubrimiento finito.
Por tanto, para probar que [0,1] es compacto se ha usado que [0,1] es conexo. Entonces ¿para probar que un intervalo cerrado es compacto hay que demostrar previamente que es conexo? ¿hay alguna relación, en este caso, entre compacidad y conexión?
El ejercicio que propongo es buscar (en la bibliografía, libros, etc) una demostración de que [0,1] es compacto sin usar que es conexo.
Aquí le dejo un enlace donde está la demostración de que [0,1] es compacto sin usar conexión.
ResponderEliminarEs el Teorema 6.2 (Teorema de Heine-Borel-Lebesgue). La demostración es para cualquier intervalo [a,b] con a y b números reales y a < b.
--->El teorema y la demostración comienzan en la primera página.
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000944/lecciones/cap06/06_01_01.pdf
En el libro que alguna vez ha sitado en clase "La topología de 2º no es tan difícil" aparece una demostración de que [0,1] es compacto. Este libro se puede encontrar en el siguiente enlace:
ResponderEliminarhttp://rinconmatematico.com/chamizo/APtopo.pdf
La demostración aparece en la pag. 74
Las dos demostraciones son las mismas (mejor en el libro de Chamizo). En ambos casos usan la propiedad de supremo en la recta real, es decir, que existen números del conjunto del que es supremo tan próximos al supremo (por debajo) como se quiera. En la demostración de que un intervalo es conexo, también se trabajaba con el supremo de cierto conjunto.
ResponderEliminarhay un libro en la biblioteca,llamado:problemas de topologia general,en el que viene la demostracion,pero tambien lo hace con el intervalo cerrado a,b
ResponderEliminarNo encuentro las demostraciones siguientes:
ResponderEliminar1. Las proyecciones canonicas son sobreyectivas, continuas y abiertas.
2. La topologia producto es la menor topologia que hace continuas las proyecciones canonicas.
Alguien me puede ayudar?