lunes, 23 de marzo de 2009

Cardinalidad

Ya que Azahara preparó algo sobre cardinalidad, lo dejamos en el blog.

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El cardinal indica intuitivamente el número o cantidad de los elementos de un conjunto.El concepto de número cardinal fue “inventado” por Georg Cantor en 1874 como un instrumento para comparar conjuntosinfinitos. Dados dos conjuntos, se dicen que están relacionados si existe una biyección entre ellos. Esto define una relación de equivalencia. Un cardinal sería una clase de equivalencia mediante esta relación.

Denotamos A_n=\{1,\ldots,n\}. Si un conjunto X está en la clase de equivalencia de algún A_n, se dice que es finito y que su cardinal es X=n. En caso contrario, se dice que tiene cardinal infinito. La clase de equivalencia del conjunto vacío es el cardinal 0.

Si A tiene cardinal n, entonces el conjunto de partes de A tiene cardinal 2^n. Por ejemplo, si A es el vacío, A=0 y P(A)=2^0=1, ya que el único subconjunto del conjunto vacío es el vacío (¡hay un subconjunto!).

Un conjunto A tiene menor (o igual) cardinal que B si hay una aplicación inyectiva de A en B. Por tanto, si A tiene menor cardinal que B y B tiene menor cardinal que A, entonces A y B tienen el mismo cardinal (están en la misma clase de equivalencia).

Un conjunto se dice numerable si es finito o tiene el cardinal del conjunto de los números naturales N.

El primer cardinal infinito es el de N: esto quiere decir que si A es un conjunto infinito, entonces existe una aplicación inyectiva de N en A.

El conjunto de los números reales R no es biyectivo con N (R no es numerable).

El segundo cardinal infinito es el de R: esto quiere decir que si A es un conjunto infinito, con distinto cardinal que N, entonces existe una aplicación inyectiva de R en A.

(por Azahara)
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Todo lo anterior enlaza con la historia del hotel (con un número infinito de habitaciones) que siempre tenía habitaciones para cualquier persona que fuera a hospedarse. Un día el hotel estaba lleno. Llegó una persona que quería alojarse. Entonces el recepcionista llamó a todos los huéspedes y les dijo que se pasaran a la siguiente habitación. De esta forma, la habitación número 1 quedó libre para la persona que había llegado.

Una noche, llegó un autobús con infinitos pasajeros que quería alojarse en el hotel, que estaba lleno. El recepcionista mandó a todos los huéspedes a cambiarse a la habitación cuyo número fuera el doble de la que tenían entonces. De esta forma, los huéspedes ocuparon las habitaciones pares, y dejaron libres todas las impares para que se alojaran los recién llegados.

7 comentarios:

  1. Los ejemplos del hotel se corresponderían con aplicaciones biyectivas de los números naturales, ¿no?

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  2. Supongo que sí,ya que con este ejemplo se muestra que el cardinal de los naturales es el mismo que el de los pares( y el mismo que el de los naturales mas 1), por tanto, hay una aplicación biyectiva entre ambos conjuntos

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  3. una pregunta si tengo un conjunto con un subconjunto como hallo la cardinalidad cuento el subconjunto como un solo elemento o incluyo los elementos del subconjunto
    graciasss

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  4. Los conjuntos tienen, por definición, elementos y no subconjuntos. Por tanto el ejemplo que pones no es posible. Para que pienses, te pongo dos ejmplos. Sea X el conjunto dado por X={{0,1}}. Este conjunto tiene un elemento (su cardinal es 1) ¿qué elemento es? el conjunto dado por {0,1}. Por otro lado, el conjunto Y={0,1} tiene dos elementos (cardinal=2) ¿qué elementos? el 0 y el 1. Si te fijas, las llaves ({}) es fundamental. La forma de describir un conjunto es mediante llaves, es decir, X={...}, y entre las llaves se ponen los elementos. Éstos, los elementos pueden ser cualquier cosa. Último ejemplo: denotamos por R y N el conjunto de los números reales y naturales respectivamente. El conjunto Z={R,N} tiene dos elementos (cardinal=2) ¿qué elementos? el conjunto R y el conjunto N.

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  5. ahi no manches si haces algo aslo bien o mejor asme una chaqueta

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  6. Muy interesante.
    Agrego que en el ejemplo también se demuestra que el conjunto de los impares tiene el mismo cardinal que N, sólo que el conjunto I no es coordinado con las habitaciones del hotel sino con los nuevos huéspedes, que también son N.
    Saludos.
    Sergio

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