viernes, 13 de marzo de 2009

Casos 'triviales" de ANI y ANII

Cuando estudiamos si un espacio topológico satisface algunos de los axiomas de numerabilidad ANI o ANII, hay casos muy sencillos, de los cuales, apenas hay que hablar. Destacamos algunos.
  • Si el espacio es ANII, entonces es ANI.
  • Si la topología es numerable, entonces es ANII.
  • Si el conjunto es finito, es ANII.
  • Todo espacio métrico es ANI.
  • Si hay una base (o base de entornos) más pequeña que cualquier otra, y no es numerable, entonces el espacio no es ANII (o ANI).
  • Cualquier espacio que sea subespacio topológico, producto topológico u homeomorfo a un espacio topológico que satisface la propiedad.


Como ejemplos, bastan los siguientes ¿la esfera satisface ANII?:. Sí, porque es un subconjunto de un espacio euclídeo, que lo es. También, porque es un espacio métrico.

¿un toro S^1 x S^1 satisface ANI? Sí, porque es producto topológico de espacios ANI.

Por último, entre los casos 'triviales' se encuentran aquellos espacios topológicos que han aparecido a lo largo del curso y de los que hemos obtenido una base de abiertos o una base de entornos para cualquier punto. Si son numerables, entonces el espacio es ANII o ANI, respectivamente.

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