La conexión es un invariante topológico y como tal, se puede usar para distinguir espacios topológicos. Un ejemplo típico es el siguiente: la unión de dos intervalos abiertos y disjuntos no es homeomorfo a un intervalo abierto, pues el primero no es conexo y el segundo sí.
Sin embargo, más sorprendente es la siguiente forma de usar la conexión para distinguir dos espacios que son conexos.
1) [0,1) y (0,1) no son homeomorfos, aunque ambos son conexos. Si hubiera un homeomorfismo f entre [0,1) y (0,1), entonces
[0,1)-\{0\}=(0,1) y (0,1)-\{f(0)\} serían homeomorfos. Sin embargo el primero es conexo y el segundo no, al no ser un intervalo: contradicción.2) La recta euclídea R no es homeomorfa al círculo S^1 (sin embargo ambos son espacios conexos). El argumento es análogo al anterior. Si f es un homeomorfismo entre R y S^1, entonces
R-\{0\} es homeomorfo a S^1-\{f(0)\}. El primer espacio no es un intervalo, luego no es conexo. El segundo es S^1 menos un punto. Este espacio es homeomorfo a R (a través de la proyección estereográfica), y así conexo: contradicción.
Cuando en clase vimos que S^1 no era homeomorfo a ningún subconjunto de R, hicimos algo parecido: en el caso del intervalo abierto si quitamos un punto, no es conexo y la esfera menos un punto sí que lo es; pero en el caso del intervalo semiabierto no lo entiendo, porque se le podría quitar el punto del extremo y seguiría siendo conexo, que utilizaríamos el invariante topológico " el número de puntos de un conexo de manera que al quitarlos me salen n componentes conexas ( en este caso una)", el lugar de la conexión?
ResponderEliminarEn el razonamiento no se quita "cualquier" punto. En el caso de [0,1) y la circunferencia S^1 es del siguiente modo: sea f un homeomorfismo entre el primero y el segundo. Tomamos x=1/2. Entonces [0,1)-{x} es homeomorfo a f(S^1)-{f(x)}=S^1-{f(x)}. El primer conjunto no es conexo y el segundo sí. Sería conveniente que vieras laa entrada "Número de intersección de un punto"
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