Conexión y trozos

El espacio topológico discreto no es conexo. Pero además está muy lejos de ser conexo. Concretamente, el espacio no es conexo porque cualquier subconjunto es abierto y cerrado a la vez, pero es que en este espacio, ¡cada punto es abierto y cerrado! Por tanto, si nos hacemos una idea de los "trozos" de que está constituido podemos afirmar que hay tantos trozos como puntos hay en el conjunto.

Si un espacio es conexo, está formado por un único "trozo", cuando el espacio no es conexo y estamos imaginándonos sus trozos, estamos asumiendo que cada uno de esos trozos es conexo. Volviendo al espacio discreto, un conjunto A={p,q} formado por dos puntos es abierto y cerrado a la vez, pero no es un trozo del espacio porque A no es conexo.

Resumiendo, al hablar de trozos de un espacio queremos decir subconjuntos del espacio, que son conexos, pero son lo más grandes posibles sin perder la propiedad de conexión. Un último ejemplo. Sea H: x^2+y^2-z^2=-1 el hiperboloide de dos hojas. Escribimos H=H_+\cup H_{-}, separando, respectivamente, la parte de arriba y la de abajo. El conjunto H no es conexo porque tanto H_+ como H_{-} son abiertos y cerrados. Pero justamente estos dos conjuntos son los trozos del hiperboloide, es decir, subconjuntos lo más grandes posibles que siguen siendo conexos (cada uno es homeomorfo al plano R^2, que es conexo).