miércoles, 21 de enero de 2009

Conexión: interior, frontera, ...

Sea A un subconjunto de un espacio topológico. En el caso de que A sea conexo, nos preguntamos si su interior, adherencia, frontera y exterior son conjuntos conexos. También al revés. Lo vemos en ejemplos:
  1. El conjunto A es conexo pero no su exterior: en R, sea $A=(0,1)$. Entonces $ext(A)=(-\infty,0]\cup[1,\infty)$ no es conexo al no ser un intervalo.
  2. Se sabe que si $A$ es conexo, también lo es su adherencia.
  3. El conjunto $A$ es conexo pero su frontera no es conexa: en el ejemplo anterior, Fr(A)={0,1}, que de nuevo no es conexo.
  4. El conjunto $A$ es conexo, pero no interior: en $\mathbb{R}^2$, sea $$A=\overline{B_1(0,0)}\cup \overline{B_1(0,3)}. $$
    Entonces $$int(A)=B_1(0,0)\cup B_1(0,3) $$
    que no es conexo al ser la igualad anterior una partición por abiertos no trivial.

Ahora hacemos al revés.

  1. El conjunto A no es conexo, pero sí su adherencia: en $\mathbb{R}$, sea $A=(0,1)\cup (1,2)$. Entonces A no es conexo y $\overline{A}=[0,2]$ es conexo.

  2. El conjunto $A$ no es conexo pero su exterior es conexo: sea $A=(-\infty,0]\cup (1,\infty)$ que no es conexo, pero $ext(A)=(0,1)$ sí lo es.

  3. El conjunto $A$ no es conexo pero su frontera es conexa: sea $A=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ que no es conexo pero $Fr(A)=\{0\}$ es conexo.

  4. El conjunto no es conexo pero sí su interior: sea $A=(3,4)\cup\{5\}$ que no es conexo pero $int(A)=(3,4)$.

(por Azahara)

6 comentarios:

  1. En este caso se ha visto que dado un conjunto conexo A, para saber si su interior,exterior,adherencia o frontera son conjuntos conexos o no, hay que ESTUDIARLO,ya que no se puede saber inmediatamente por el mero hecho de conocer el conjunto A. Por otro lado, estudiar si estos conjuntos resultantes son localmente conexos sería otro problema a tratar,el cual no tiene nada que ver con lo visto en esta entrada. Por ejemplo, retomando A=(0,1), el ext(A) que se ha visto que no es conexo, sí es localmente conexo, ya que para cada punto de este conjunto hay una base de entornos("intervalo" {(x-E,x+E);E>0}) que es conexa.El int(A) también es localmente conexo por la misma razón; la Fr(A), que no es conexa, también es localmente conexa (en este caso la base de entornos de cada punto sería el mismo punto que se ha visto varias veces en clase que es conexo por tratarse de la T_trivial si inducimos en él), y la adherencia de A,como se esperaba, es conexa y localmente conexa(análogo al exterior o interior).Pero mi pregunta es:¿se podría decir,como hoy se dijo en clase, que como la recta euclídea es localmente conexa esto implica que cualquier subconjunto suyo también lo sea?, yo diría que no ya que también vimos que el conjunto X={1/n;con n natural} U {0} no es localmente conexo (falla el {0}) y en cambio es un conjunto de R.

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  2. Contestando a tu pregunta Antonio: pienso que la respuesta también es no, por ejemplo tenemos que R es localmente conexo, y un subconjunto de R es Q(los números racionales) que no es localmente conexo, ya que para el punto x ,una base de entornos es: βx={(x-ε,x+ε)intersección con Q;ε>0} y el único conexo q contiene a x es el propio x.

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  3. Ese caso de que Q no es localmente conexo y es un subconjunto de R que sí lo es también lo pensé, pero entonces el resultado que vimos ayer que decía:"X es un espacio localmente conexo entonces A,subconjunto de X, es localmente conexo", ¿falla? ¿o es que hay en él algún otro matiz y/o lo he interpretado mal?

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  4. ¿que un subconjunto de un espacio localmente conexo también lo es? El ejemplo de Q mostraba (ayer) que no. Si el espacio es localmente conexo todo punto tiene una base de entornos conexa. Si A es un subconjunto, la base anterior, intersecada con A es una base de entornos pero ¿conexa? Cuando se tiene un conjunto conexo y se interseca con otro no tiene porqué ser conexa. La respuesta es, evidentemente, que no (en general).

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  5. ¿Qué pasa si el conjunto es simplemente conexo, puedo asegurar que su frontera es simplemente conexo?

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  6. Espitia, puede que no sea ni conexo!, como ocurre si consideras el intervalo (0,1) en R. Otro ejemplo, en R^2, la banda (0,1)xR es simplemente conexa y su frontera no conexa.

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