Espacios euclídeos y conexión

Hemos probado hoy en clase que $\mathbb{R}$ no es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$, $n>1$ (con topologías usuales). Y para eso se ha usado un argumento de conexión. Sin embargo para distinguir topológicamente $\mathbb{R}^2$ de $\mathbb{R}^3$ es necesario tener más herramientas, exactamente, el concepto de grupo fundamental. Éste se estudiará en Topología II (asignatura optativa de cuarto curso).

En general, para distinguir topológicamente R^n de $\mathbb{R}^m$ es necesario estudiar grupos de homología (la asignatura es Topología Algebraica). Por tanto, aunque es "evidente" que $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^m$ son homeomorfos si y sólamente si n=m, la prueba de ello necesita de conceptos más profundos, tanto de Topología como de Álgebra.

Puede uno comparar esta situación con la facilidad que se demostraba que $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^m$ no son isomorfos como espacios vectoriales si n no es m: tienen distinta dimensión. Es un resultado de inicios de Geometría I en primer curso de Licenciatura.

Por tanto, resulta un poco chocante para un alumno de la Licenciatura en Matemáticas que para probar que $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^m$ no son homeomorfos haya que "esperar" hasta los dos últimos años de carrera.