La recta de Sorgenfrey no es conexa porque $\mathbb{R}=(-\infty,0)\cup [0,\infty) es una partición por abiertos no trivial.
En particular, hay conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez. Este es el caso del conjunto $[0,1)$: es evidente que es abierto, y su complementario, $(-\infty,0 )\cup [1,\infty)$ es abierto.
Nos preguntamos ahora qué subconjuntos de la recta de Sorgenfrey son conexos. Si c es un número real, los conjuntos $(-\infty,c)$y $(c,\infty)$ son abiertos. Por tanto, usando el mismo razonamiento que el que se hizo con la recta euclídea, si un conjunto es conexo, debe ser un intervalo. Nos queda por responder a la pregunta de qué intervalos son conexos. Basta darse cuenta que si I es un intervalo con más de dos puntos, si c es un punto intermedio, podemos escribir $\mathbb{R}I=(I\cap (-\infty,c))\cup (I\cap [c,\infty))\mathbb{R}$, lo que prueba que si un intervalo es conexo debe tener sólo un punto.
Teorema: los únicos conjuntos conexos de la recta de Sorgenfrey son los conjuntos unitarios.
En este caso se prueba que si hay un conexo, éste es un intervalo,y también se prueba que si tiene más de dos puntos no es conexo, por tanto, se afirma que sólo puede ser conexo el conjunto formado por un punto. Entonces el conjunto formado por un punto,¿ es siempre conexo?.Porque no es un intervalo, y tampoco se prueba que sea conexo, ¿por qué podemos afirmarlo?
ResponderEliminarEL conjunto formado por un punto tiene la topología trivial, que es conexo (los únicos abiertos son el total y el vacío). Por otro lado, el conjunto formado por un punto en la recta euclídea A={x} es un intervalo: A=[x,x]
ResponderEliminarAh vale,
ResponderEliminarde todas formas sería necesario explicar lo primero, no? porque lo único que sabemos es que si es un conexo tiene que ser intervalo, pero al revés no, de hecho para un intervalo de mas de dos puntos no se cumple.
Por otro lado, el que tenga la topología trivial el conjunto formado por un solo punto, que es porque al interseccionar un abierto que contenga al punto (de cualquier topologia) con el punto, siempre obtenemos el punto no?
La prueba de que la recta de Sorgenfrey no es conexa está en los apuntes. Que un conexo tiene que ser un intervalo es en la topología usual: en otra habría que estudiarlo. Para el conjunto formado por un punto, la familia de subconjuntos tiene sólo dos elementos: el vacío y el total (el punto). Por tanto es trivial que es la topología trivial.
ResponderEliminarvale, muchas gracias
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