Consideramos el espacio de matrices cuadradas de orden n $gl(n,R)$, con su topología usual, es decir, la que viene de identificar dicho conjunto con $R^{n^2}$. Estudiamos la conexión de dos subconjuntos suyos: el espacio de matrices regulares $Gl(n,R)$ y el espacio de matrices ortogonales O(n).
Se toma la aplicación determinante $det:gl(n,r)\rightarrow {\mathbb R}$. Esta aplicación es continua. Por otro lado, ya que las matrices regulares y las ortogonales tienen determinante no cero, se puede escribir $$Gl(n,R)=(Gl(n,R)\cap det^{-1}((-\infty,0)))\cup ( Gl(n,R)\cap det^{-1}((0,\infty)))$$ $$O(n)=(O(n)\cap det^{-1}((-\infty,0))\Big)\cup ( O(n)\cap det^{-1}((0,\infty)))$$
donde la aplicación det es la restricción en los correspondientes conjuntos (por tanto continua).
Concluimos que es posible encontrar una partición por abiertos no trivial de ambos espacios, es decir, no son conexos (es fácil encontrar matrices en cada uno de los abiertos).
Para el caso de $O(n)$ podemos decir también que la aplicación $det:O(n)\rightarrow \{-1,1\}$ es continua y no sobreyectiva y por tanto, el espacio no es conexo.
Si tomáramos el espacio de matrices ortogonales de determinante 1, $SO(n)$, no podemos hacer lo mismo que antes y no concluir si es o no concexo. (por Azahara)
En el caso de coger la aplicación
ResponderEliminardet:O(n)\rightarrow \{-1,1\} Se trata de una aplicación continua y sobreyectiva a la vez ¿no? si fuera no sobreyectiva podría ser conexo el espacio.