El número de intersección n(x) de $x\in (X,\tau)$ es el número de componentes conexas de $X-\{x\}$. Si $p$ es un número natural, $m(p)$ es el cardinal del conjunto $\{x;n(x)=p\}$. El número $m(p)$ es un invariante topológico.
Para un intervalo $(0,1)$, $n(x)=2$ para todo $x$ y $m(2)$ es infinito. En $[0,1)$, $m(1)=1$. En $[0,1]$, $m(1)=2$. En particular, los tres conjuntos anteriores no son homeomorfos entre sí.
El conjunto formado por los dos ejes coordenados de $\mathbb{R}^2$ satisface $m(4)=1$ y $m(2)$ es infinito. En la circunferencia $\mathbb{S}^1$ , $m(2)=0$. En dos circunferencias tangentes, $m(2)=1$ y $m(1)$ es infinito. Por tanto, tampoco son homeomorfos entre sí.
Por simple curiosidad, al igual que el número de intersección de un punto es un invariante topológico, ¿existe el número de intersección de dos puntos?, si existe, ¿es un invariante topológico?
ResponderEliminarNo tengo muy claro el concepto de número de intersección de dos puntos... ¿Sería el número de componentes conexas de X-{x,y}?
ResponderEliminarEn ese caso creo que sí sería invariante topológico,porque podemos ver como conjunto Y=X-{x} y con Y-{y}, estamos en el caso anterior. Aunque no estoy muy segura...
(para Azahara y Conce): sí. Cuando se ha quitado un punto es porque se ha restringido el homeomorfismo f a X-{x}, pero podemos hacerlo a cualquier subconjunto A de X. Así si A tiene una propiedad topológica, también lo tiene f(A).
ResponderEliminarLa cosa tanto al quitar un punto o más es que se pueda calcular el número de componentes conexas. El hecho de ser un punto es porque es más fácil.
Por ejemplo, sea f un homeomorfismo entre R y R y sea A un conjunto formado por dos intervalos disjuntos. Entonces R-A es homeomorfo a R-f(A). El conjunto R-A es fácil: tres intervalos, pero R-f(A) es un conjunto mucho más complicado (podría ser "raro").
En el caso de que A es un punto, entonces f(A) es también un punto, luego todo es más fácil.
Vale, muchas gracias
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