Espacios totalmente disconexos

Un espacio topológico se dice que es totalmente disconexo si los únicos subconjuntos conexos están formados por conjuntos unitarios. Es lo mismo que decir que todas las componentes conexas son conjuntos unitarios.

No hay ninguna relación entre este concepto y el de conexión local. Por ejemplo, Q es totalmente disconexo pero no es localmente conexo. Por otro lado, $\mathbb{R}$ es localmente conexo y no es totalmente disconexo.

Ejemplos de espacios de este tipo son:

1. Espacio topológico discreto.
2. El conjunto de los números racionales con su topología usual.
3. La recta de Sorgenfrey $(\mathbb{R},S)$.

¿Cómo distinguir estos tres espacios topológicos usando conexión? (suponemos que el primero es $\mathbb{R}$ con la topología discreta D.) En primer lugar, ninguno es conexo. Por otro lado, todas las componentes conexas tienen el mismo número de elementos (¡1!).

En primer lugar $(\mathbb{R},T)$ es localmente conexo y los otros dos. Esto distingue este espacio de los demás. Una manera para $\mathbb{Q}$ y $(\mathbb{R},S)$ es que "el número de componentes conexas" es un invariante topológico. En $\mathbb{Q}$ hay tantas como elementos, es decir, infinito y numerable. En $(\mathbb{R},S)$ hay tantas como elementos hay en R, es decir, infinito no numerable.

Sin usar conexión, es posible distinguir los tres espacios. Por ejemplo, en (R,D) todo elemento tiene una base de entornos formados por un punto; en los otros dos no. Para distinguir Q y $(\mathbb{R},S)$ usamos una propiedad que salió en los temas 1 y 2: en $\mathbb{Q}$ hay una base numerable de abiertos (la que había en R e intersecarla con Q), pero en (R,S) no. Esto último cuesta algo más de trabajo. Si existira tal base $\beta=\{O_n;n\in N\}$, para cada número real existe $n(x)$ (existen muchos, pero elegimos uno usando el Axioma de Elección) tal que $x\in O_{n(x)}\subset [x,x+1)$. La aplicación de R en el conjunto de los número naturales dada por $x\longmapsto n(x)$ es inyectiva, lo que daría una contradicción: si $n(x)=n(y)$, entonces $$O_{n(x)}\subset [x,x+1)\cap [y,y+1),\ x,y\in O_{n(x)}\Rightarrow x=y.$$