martes, 20 de enero de 2009

Espacios totalmente disconexos

Un espacio topológico se dice que es totalmente disconexo si los únicos subconjuntos conexos están formados por conjuntos unitarios. Es lo mismo que decir que todas las componentes conexas son conjuntos unitarios.

No hay ninguna relación entre este concepto y el de conexión local. Por ejemplo, Q es totalmente disconexo pero no es localmente conexo. Por otro lado, $\mathbb{R}$ es localmente conexo y no es totalmente disconexo.

Ejemplos de espacios de este tipo son:

  1. Espacio topológico discreto.
  2. El conjunto de los números racionales con su topología usual.
  3. La recta de Sorgenfrey $(\mathbb{R},S)$.

¿Cómo distinguir estos tres espacios topológicos usando conexión? (suponemos que el primero es $\mathbb{R}$ con la topología discreta D.) En primer lugar, ninguno es conexo. Por otro lado, todas las componentes conexas tienen el mismo número de elementos (¡1!).

En primer lugar $(\mathbb{R},T)$ es localmente conexo y los otros dos. Esto distingue este espacio de los demás. Una manera para $\mathbb{Q}$ y $(\mathbb{R},S)$ es que "el número de componentes conexas" es un invariante topológico. En $\mathbb{Q}$ hay tantas como elementos, es decir, infinito y numerable. En $(\mathbb{R},S)$ hay tantas como elementos hay en R, es decir, infinito no numerable.

Sin usar conexión, es posible distinguir los tres espacios. Por ejemplo, en (R,D) todo elemento tiene una base de entornos formados por un punto; en los otros dos no. Para distinguir Q y $(\mathbb{R},S)$ usamos una propiedad que salió en los temas 1 y 2: en $\mathbb{Q}$ hay una base numerable de abiertos (la que había en R e intersecarla con Q), pero en (R,S) no. Esto último cuesta algo más de trabajo. Si existira tal base $\beta=\{O_n;n\in N\}$, para cada número real existe $n(x)$ (existen muchos, pero elegimos uno usando el Axioma de Elección) tal que $x\in O_{n(x)}\subset [x,x+1)$. La aplicación de R en el conjunto de los número naturales dada por $x\longmapsto n(x)$ es inyectiva, lo que daría una contradicción: si $n(x)=n(y)$, entonces $$O_{n(x)}\subset [x,x+1)\cap [y,y+1),\ x,y\in O_{n(x)}\Rightarrow x=y.$$

13 comentarios:

  1. Cuando comienza a distinguir, comienza con el espacio topologico discreto, ¿con (R,T) que se refiere a la topología trivial, o a la discreta (R,D)?
    Seguidamente pone que es localmente conexo (ambos lo son), pero pone "y los otros dos", ¿qué se refiere a que los otros dos lo son, o a que los otros dos no lo son?

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  2. No son localmente conexos, ya que Q con la topología usual hemos visto en clase que no lo es, y (R,S), tampoco, ya que una base de entornos será del tipo Bx={[x,x+e);e>0}, y sus elementos no son conexos, ya que los entornos son uniones de abiertos disjuntos: [x,x+e/2)U[x+e/2,x+e). Esta es la base de entornos con menos elementos que podemos encontrar, así que todas las demás tendrán como mínimo estos elementos, luego siempre habrá elementos que no sean conexos. En realidad no sé si está muy bien razonado...

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  3. (para Azahara) "... y los otros dos no lo son".

    (para Conce): lo de que "es la base de entornos más pequeña" no lo tengo claro. De todas formas tanto para Q como para (R,S) los únicos conexos son los conjuntos formados por un punto. Y en ambos espacios, estos conjuntos no son entornos.

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  4. Si un conjunto no es conexo, entonces podemos decir que es disconexo???Ya que los tres ejemplos de conjuntos disconexos son no conexos!!

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  5. Creo que no estefanía, porque el hiperboloide de dos hojas no es conexo (es unión de dos abiertos no triviales), y tampoco es disconexo, ya que cada hoja es conexa y no es un conjunto unitario

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  6. Creo que tanto "no conexo" como "disconexo" significan lo mismo, simplemente un juego del lenguaje.

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  7. En cuanto a lo que ha dicho Azahara, el hiperboloide de dos hoja no es TOTALMENTE disconexo, pero tampoco tengo muy claro si disconexo es equivalente a no conexo, aunque parece que si...

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  8. Yo pienso también que un espacio topológico se dice que es disconexo cuando no es conexo y que es totalmente disconexo cuando además de no ser conexo sus componentes conexas están formadas por un solo punto,que es lo mismo que decir que la intersección de las componentes conexas de todos los puntos que forman el espacio es el vacío(no hay ningún punto en ese espacio topológico disconexo cuya componente conexa coincida con la componente conexa de cualquier otro punto de ese mismo espacio, ya que la componente conexa de cada punto sería el mismo punto)

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  9. Si hay tanta discusión sobre lo que es un "espacio disconexo" creo que lo mejor es buscar-preguntar-indagar-investigar donde sea. en esta entrada se hablaba de un espacio totalmente disconexo. Pero si alguien quiere saber qué es disconexo, lo más sencillo es irse a internet. Entonces ve uno rápidamente que "espacio disconexo" es un "espacio no conexo" (por ejemplo en http://en.wikipedia.org/wiki/Disconnected_space).

    En una búsqueda en Google hay que tener cuidado con las "salidas". A continuación (entre paréntesis pongo el número de salidas) escribo lo que he encontrado: "totalmente disconexo" (283), "es disconexo" (173), "espacio disconexo" (7), "espacio totalmente disconexo" (9), "disconnected set" (10.500), "totally disconnected set" (1220), "is totally disconnected" (17000), "is disconnected" (1090000", "totally disconnected space" (2190).

    Resumo: una simple búsqueda en Google nos dice que "disconexo=no conexo".

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  10. Gracias conce, no me habia dado cuenta de lo de "totalmente". De todas formas, que sea no conexo no implica que sea totalmente disconexo no?( por el ejemplo citado antes) , pero ¿ la otra implicación es cierta?

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  11. Si un espacio topológico es no conexo (disconexo) no tiene porqué ser totalemente disconexo,como en ese mismo ejemplo del hiperboloide de dos hojas, pero es evidente que si es totalmente disconexo es no conexo, ya que el espacio no está formado por una única componente conexa (se supone que hay más de una y que son unitarias)

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  12. ESTA MUY BIEN LA DEFINICION

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  13. Alberto Hernandez Rosales(Iancito)27 de junio de 2012, 22:02

    La definición es muy buena que se entiende perfectamente.

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