Topología a derechas

En la recta de número reales $\mathbb{R}$ se definió la topología a derechas como aquélla que tiene por base $\beta=\{[x,\infty);x\in {\mathbb R}\}.$ Esta construcción se puede generalizar a conjuntos ordenados. Antes de decir cómo es la topología, pongamos un ejemplo que no sea $\mathbb{R}$ con el orden usual. Sea $Y$ un conjunto arbitrario y $X={\cal P}(Y)$ el conjunto de todos los subconjuntos de $Y$. En $X$ se puede definir el siguiente orden $\leq$: para $A,B\in X$ se define $A\leq B$ si $A\subset B.$

De forma más general, sea $X$ un conjunto con una relación de orden $\leq$. Para cada elemento $x$ de $X$, se define $S_x=\{y\in X;x\leq y\}$. Se considera ahora $\beta=\{S_x;x\in X\}.$ Entonces $\beta$ es base de una cierta topología Td que se llama la topología a derechas de $X$ para la relación de orden $\leq.$ Es evidente que en el caso particular $X=\mathbb{R}$ y $\leq$ el orden usual de números reales, entonces se tiene la topología definida al principio, ya que $S_x=[x,\infty).$

Igual que se hizo en $(\mathbb{R},\leq)$, se puede probar que si $f:(X,\leq)\rightarrow (X,\leq)$ es una aplicación, entonces f es continua si y sólo si $f$ es creciente.

El espacio topológico $(X,Td)$ es conexo, ya que dos elementos de la base de topología siempre se intersecan.

Es muy fácil demostrar el siguiente resultado: sea $A$ un subconjunto de $X$. En $A$ existe un orden inducido $(X,\leq)$ y que denotaremos de la misma forma $\leq$. Entonces se puede probar que la topología inducida de Td en $A$ es la topología a derechas que hay en $A$ con la relación de orden $\leq$.