Algunos alumnos me han pedido que ponga en el blog algunas "curiosidades". Pues aquí va una: hay una demostración topológica de que el conjunto de números primos es infinito. Recuerdo que hay un teorema de Euclides que dice "el conjunto de números primos es infinito". Podéis verla aquí.
Pero hay una demostración del resultado mediante métodos topológicos. Cuando vi la demostración en el blog de gaussianos me quedé sorprendido porque, en principio, la Topología y la Teoría de Números no tiene nada que ver. Pero ya he comentado algunas veces en clase que la Topología es una herramienta muy poderosa en Matemáticas, especialmente la Topología Algebraica. Y cuando digo "poderosa" significa dos cosas: una, es que permite realizar avances importantes y profundos en cualquier área de las Matemáticas; y segundo, es que, estudiando y trabajando con un problema (no topológico), a veces es necesario usar Topología para resolverlo, lo cual es sorprendente. Esto lo digo por experiencia propia.
La demostración en gaussianos la podéis ver aquí. La idea es definir una topología en el conjunto de los números enteros Z y observar algunas propiedades. La demostración es totalmente asequible (¡sólo se usa la definición de espacio topológico!). Por cierto, y en relación al tema que tenemos ahora entre manos, Z con la topología que se define no es conexo (hay conjuntos abiertos y cerrados).
Que curioso. La topología parece que no aparece en la vida pero en realidad sirve para todo.
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