viernes, 6 de marzo de 2009

Estudio de separación de un espacio topológico

Esta entrada está dedicada a estudiar los axiomas de separación del siguiente espacio (conocido): X=[-1,1] y la topología es
\tau=\{\emptyset,X\}\cup\{O\subset X;(-1,1)\subset O\}\cup\{O\subset X;0\not\in O\}

Las respuestas se deben hacer a través de los comentarios a esta entrada. Hay que razonar. También discutir sobre las dificultades en resolver el problema.

8 comentarios:

  1. (X,Y) es T0. Un entorno de cualquier punto distinto de cero es el propio punto(por ser abierto) y al ser un conjunto unitario no contiene a ningún otro elemento, por tanto para cualesquiera dos puntos que cojamos siempre se cumple la condición de que al menos un entorno de uno de ellos no contenga al otro punto.
    Todo entorno del cero debe contener al intervalo (-1,1).Por tanto, tomando el 0 y otro punto arbitrario no siemre se tiene la condición de T1.
    Por no ser T1 tampoco es T2 ni T3

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  2. No es T_1, pero ¿qué puntos son cerrados?

    De la misma forma, ¿para qué pares de puntos se satisface T_2?

    ¿es regular, normal?

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  3. No es regular. Tomamos el cerrado F=(-1/2,1/2) (es cerrado porque su complementario es del tipo de abiertos {O < X; 0 e!O}) y cualquier punto que no pertenezca a F. Un entorno del punto sería el propio punto( por ser abierto) y el menor abierto que contiene a F es (-1,1) (porque 0eF) que corta al entorno de cualquier punto que no sea -1, 1.

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  4. Los cerrados (complementarios de los abiertos)en este espacio topologico son F={vacío,X}U{CcX;Cc(-1,1)}U{CcX;OeC}. Se sabía que este espacio no era T_1 por lo tanto sabíamos que todos los puntos de X no pueden ser cerrados(como dice la caracterización de T_1).Si nos fijamos en el conjunto de los cerrados todos los puntos serían cerrados excepto el 1 y el -1.

    Este espacio satisface que es T_2 para cualquier par de puntos en los que no cojamos el 0, ya que para cualesquiera dos puntos distintos x,yeX y distintos del 0, un entorno(el mas pequeño) para cada punto sería el propio punto y la intersección de estos entornos sería vacía.

    No es regular, como ha dicho Isabel.

    Y no es normal, ya que si cojo dos cerrados disjuntos, por ejemplo,(el mismo) F1=(-1/2,1/2) y F2=(-1,-1/2)(F1 se vio que es cerrado en el comentario anterior y F2 es cerrado por estar contenido en (-1,1)),el menor abierto que contiene a F1 es (-1,1) como dijo Isabel y el menor abierto que contiene a F2 es el propio F2(por no contener al 0).La intersección de estos dos abiertos es no vacía, entonces el espacio no satisface que es normal.

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  5. ¿"todos los puntos serían cerrados excepto el 1 y el -1"? Creo que es al contrario ¿no? Los únicos cerrados son el 1,-1 y el 0. (el complementario de {1} y de {-1} es un abierto de la forma como se definen en el primer tipo, y en el caso del 0 como se definen en el segundo tipo)

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  6. Tienes razón Isa, es lo contrario, todos los puntos son abiertos excepto el 1, el -1 y como bien has dicho el 0.

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  7. Antonio creo k te has liado un poco, con cerrado y no abierto, que no tiene nada que ver.
    De hecho, el {1} y el {-1} son cerrados, pero a la vez son abiertos, todos los puntos son abiertos excepto el cero ( ya que son conjuntos de X que no contienen al cero(abiertos del último tipo).
    En cambio cerrados, creo que sólo son los que cita Isabel:
    {1} = X - [-1,1)
    {-1} = X - (-1,1]
    {0} = X - [-1,0)U(0,1]

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  8. Sí veo que me lié, el conjunto de los cerrados no es el que deje escrito, perdón, sino este:
    F={CcX;0eC}U{{-1},{1},{-1,1}}, aquí se puede ver que los únicos puntos cerrados pueden ser el 0(del primer tipo)y el 1 y el -1 (del segundo tipo)

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