Conexión y soluciones de una ecuación

El próximo tema se dedica a estudiar el concepto de conexión. Éste es clave en Topología y para motivarlo vemos a continuación su relación con la existencia de soluciones de una ecuación. El siguiente ejemplo es sencillo e incluso muy simple, porque buscamos soluciones de ecuaciones en subconjuntos de los números reales $\mathbb{R}$, hay que verlo mucho más allá, en verdad, bastante más, ya que por "ecuación" y por "conjunto" uno puede pensar en cosas mucho, muchísimo más abstractas.

Consideramos $X=[0,1]\cup[2,3]$ y la aplicación $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x)=-1$ si $x\in [0,1]$ y $f(x)=1$ si $x\in [2,3]$. Esta aplicación es ¡continua!. Consideramos la ecuación $f(x)=0$ y buscamos soluciones en $X$. Está claro que no hay soluciones.

Consideramos ahora $X=[0,1]$ y $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ definida por $f(x)=x^2+x+1$. De nuevo $f$ es continua y si queremos buscar soluciones de $f(x)=2$, podemos hallarlas simplemente resolviendo la ecuación.

Modificamos este ejemplo, cambiando $f$ por $f(x)=\sin(\pi x/2)+e^x-1$ y con la misma ecuación $f(x)=2$. Lo primero, e importante, es decir que uno no puede probar la existencia "resolviendo" la ecuación, ya que es imposible. Sin embargo, el valor de $f$ en los extremos de $X$ es $f(0)=1$ y $f(1)=e>2$. Aunque uno no sabe dibujar la gráfica de $f$, sabemos que $f$ une el punto $(0,1)$ con $(1,e)$ y como no podemos levantar el lápiz del papel, en algún momento cruzará con la recta $y=2$ (puede que incluso varias veces), probando que la existencia de solución. Ver el dibujo.

Olvidándonos ahora por cómo responder a la pregunta ¿pero cuál es la solución?, lo cual a veces no es importante, sí hemos probado que existe solución, que a veces sí es importante. Usando terminología de Cálculo, hemos usado el "Teorema del Valor Intermedio".

Lo que hay detrás de la existencia de soluciones es: 1) $X$ es considerado un espacio topológico, en este caso, con la topología usual (¿dónde se ha usado?), 2) $f$ es continua y 3) el hecho de que $X$ está formado por un único "trozo", a diferencia del primer ejemplo.

La conexión estudia, en cierta manera, los "trozos" de que está hecho un espacio topológico.

Topología inducidas de productos topológicos

La topología inducida en $\mathbb{Z}$ como subconjunto de $(\mathbb{R},\tau_u)$ es la discreta. Uno se imagina los subconjuntos (con topologías inducidas) de $\mathbb{R}^n$ con la topología discreta como conjuntos con "puntos aislados". Es claro que hay que decir primero qué topología se está considerando en $\mathbb{R}^n$.

Si $\tau_S$ es la topología de Sorgenfrey de $\mathbb{R}$, sabemos que la topología inducida en el conjunto $A=\{(x,-x);x\in\mathbb{R}\}$ como subconjunto de $(\mathbb{R}^2,\tau_S\times\tau_S)$ es la discreta. Este conjunto no es un conjunto de "puntos aislados". Por otro lado, considerando el mismo espacio producto, la topología inducida en $B=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ es también la discreta.

(Comparando con el anterior párrafo) Consideramos en $\mathbb{R}$ la topología $\tau$ generada por los intervalos de la forma $[a,\infty)$. Se puede comprobar que si tomamos $(\mathbb{R}^2,\tau\times\tau)$, la topología inducida en $A$ es la discreta, pero en $B$ ¡no es la discreta!

Hallar el interior y adherencia en un espacio producto

Para calcular si un punto es interior (o adherente) en un espacio topológico producto $(X\times Y,\tau_1\times\tau_2)$ podemos usar la definición o caracterizaciones que ya tenemos del tema 1. ¿Cuál es ahora la "novedad" por estar trabajando en un espacio producto?

Una primera es que el conjunto que estemos tratando sea también un producto, es decir, de la forma $A\times B$. En tal caso, el problema que tenemos "se lleva" a un problema en cada uno de los factores. Por ejemplo, para interior, $$int(A\times B)=int(A)\times int(B).$$ Como ejemplo tenemos el siguiente. Supongamos que $X=Y=\mathbb{R}$, $\tau_1$ es la topología discreta y $\tau_2$ es la usual. Tomamos el conjunto $\mathbb{Q}\times [1,2)$. Entonces $$int(\mathbb{Q}\times [1,2))=int(\mathbb{Q})\times int([1,2)=Q\times (1,2).$$

La segunda observación es que para trabajar "bien" en la topología producto, hay que trabajar con bases de abiertos (o bases de entornos) de cada uno de los factores. Por ejemplo, tomamos $X=Y=\mathbb{R}$, $\tau_1$ la topología del punto incluido para $p=0$ y $\tau_2$ la topología generada por los intervalos de la forma $[a,\infty)$. Una base de entornos de $x$ en $\tau_1$ is $\beta_x^1=\{\{x,0\}\}$ y en $\tau_2$, $\beta_x^2=\{[x,\infty)\}$. Por tanto una base de entornos de $(x,y)$ en la topología producto es $\{\{x,1\}\times [y,\infty)\}$. Si tomamos ahora $A$ cualquier bola de $\mathbb{R}^2$, entonces no hay entornos de los anteriores dentro de $A$, es decir, su interior es el vacío.

La diagonal principal

Dado un conjunto X, la diagonal principal es el subconjunto de $X\times X$ dado por
$$D=\{(x,x);x\in X\}.$$
Este conjunto NO es un producto cartesiano de DOS subconjuntos de X, a no ser que X tenga sólo un elemento. Efectivamente, supongamos $D=A\times B$, para ciertos conjuntos A y B. Sean $x,y\in X$, $x\not=y$. Como
$(x,x),(y,y)\in A\times B$, entonces $x,y\in A\cap B$. Por tanto $(x,y)\in A\times B=D$, es decir, $x=y$: contradicción.

Sabemos de clase que si $(X,\tau)$ es un espacio topológico, entonces $(D,(\tau\times\tau)_{|D})$ es homeomorfo a $(X,\tau)$.

Finalmente, si queremos estudiar la continuidad de cierta aplicación que llega a D, NO podemos decir que será continua si su composición con las proyecciones que salen de D, también son continuas, ya que no hay tales proyecciones.

Homeomorfismos en topologías productos

Al comienzo del tema de la topología producto, motivando porqué se define la topología producto tal como se hizo, se dijo algo del tipo "se tiene que definir la topología producto para que aquellas cosas que uno espera que sean ciertas, lo son". Dos ejemplos de ellos son los siguientes:

• Sean dos espacios topológicos $(X,\tau)$, $(Y,\tilde{\tau})$, $q\in Y$. Entonces $X\times\{q\}\cong X$. En el primer espacio estamos considerando la topología producto (o la inducida de la topología producto $\tau\times\tilde{\tau})$.

Sean $(X_1,\tau_2)$, $(X_2,\tau_2)$, $(Y_1,\tilde{\tau}_1)$, $(Y_2,\tilde{\tau}_2)$ cuatro espacios topológicos de forma que $(X_1,\tau_1)\cong (Y_1,\tilde{\tau}_1)$ y $(X_2,\tau_2)\cong (Y_2,\tilde{\tau}_2)$. Entonces $$(X_1\times X_2,\tau_1\times\tau_2)\cong(Y_1\times Y_2,\tilde{\tau}_1\times \tilde{\tau}_2).$$

Como aplicación de lo anterior tenemos que $\mathbb{R}\times\{0\}\cong\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2\cong (0,1)\times(0,1)$.

Un foro para "resolver" problemas

La página web del "Rincón del matemático" (http://rinconmatematico.com) tiene una sección de foros en las que cualquiera pueda participar (http://rinconmatematico.com/foros/). En general, esta parte de foros se usa para "resolver problemas", es decir, alguien tiene un problema que resolver, lo escribe en el foro apropiado y pide ayuda.

Los foros están divididos por "áreas". Así uno encuentra "Álgebra lineal", "Cálculo y análisis matemático", "Ecuaciones diferenciales", etc.

También son interesantes otras partes del foro, como son "Matemáticas recreativas" y "Recursos de matemáticas".

La página web es en español y en general el nivel es para estudiantes de universidad.

Respecto del tipo de respuestas, en general uno recibe la solución del problema, o al menos una sugerencia para ello.En la parte que nos corresponde, hay un subforo de "topología".

Homeomorfismo en R con topologías de semiintervalos

En $\mathbb{R}$ consideramos las topologías $\tau_1$ y $\tau_2$ generadas,

respectivamente, por
$$\beta_1=\{(a,\infty);a\in R\}.$$
$$\beta_2=\{[a,\infty);A\in R\}.$$
La pregunta que hacemos es sobre los homeomorfismos (si hay) de $(R,\tau_1)$ en $(R,\tau_2)$. Si no, por aplicaciones biyectivas y continuas de un espacio en otro.

Pongo un ejemplo. La aplicación $f(x)=x+1$ es biyectiva, pero no es continua, porque
$f^{-1}([0,\infty))=[-1,\infty)$ y $[-1,\infty)\not\in \tau_1$.

Sin embargo, $f^{-1}$ sí es continua.

Un blog curioso de topología

Este blog sigue el "ritmo" de las clases. Esta es una de las característica que tiene: el hecho de ser "diario" de la clase hace que con la finalización de las clases, apenas tengo ideas para publicar. También porque hay exámenes, lo que hace que estemos más pendientes de otras cosas.

Esta entrada ha surgido porque paseando por la red, como se dice ahora, me he topado con un blog de topología. Se llama Skecthes of Topology y su dirección es:

http://sketchesoftopology.wordpress.com/

Bueno, como nuestro blog no es de topología (es de la asignatura de Topología I), los contenidos del blog que sugiero están muy, muy por encima de nuestras necesidades. Pero lo traigo aquí por las bellas imágenes que tiene. Os recomiendo que os deis una vuelta, aunque no os enteréis de mucho.

(Os recuerdo de otro blog de topología, y de más cosas: Juegos topológicos. Tenéis el enlace a la derecha del blog).

Se puede usar el concepto de saturación

Con ello me refiero que todo concepto topológico en el espacio cociente se puede escribir en términos de conjuntos saturados, o de saturación. A veces es mejor (o peor) usarlo para probar ciertos resultados. Voy a poner un ejemplo sencillo de cómo se usa.

La compacidad de un cociente se puede expresar en términos de conjuntos saturados. Exactamente, un espacio cociente X/R es compacto si de todo recubrimiento por abiertos saturados de X, existe un subrecubrimiento finito. Recordar que si X es compacto, entonces X/R también lo es, pero hay espacio cocientes que son compactos, si serlo X. El ejemplo que dijimos en clase fue el siguiente.

Sea X=R con la relación $xRy$ si su diferencia es un número entero. Veamos que el cociente X/R es compacto usando el concepto de saturado. Sea $\{O_i;i\in I\}$ una familia de abiertos saturados de R y que también sea un recubrimiento de R. En particular, es un recubrimiento del intervalo [0,1]. Como es compacto, existe un recubrimiento finito: $[0,1]\subset O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}$. Ahora usamos los dos siguientes hechos sobre la saturación R[A] de un conjunto A:

1. Si $A\subset B$ entonces $R[A]\subset R[B]$.

2.$R[A\cup B]= R[A]\cup R[B]$.

En el caso anterior, R[0,1]=R. Por tanto, usando las dos propiedades anteriores, se tiene $R\subset R[ O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}]=R[O_{i_1}]\cup\ldots\cup R[O_{i_n}]=O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}$, acabando la demostración.

Ligaduras, dimensiones y cocientes

Quiero hacer la siguiente observación sobre algunos espacios cocientes que ya hemos estudiado. La idea es que cuando se hace cociente de $R^n$ con una relación de equivalencia que viene dada por una "ecuación", parece que el espacio cociente tiene una "dimensión" que es n-(ligaduras). Me explico con los siguientes ejemplos (la palabra 'dimensión' la uso sin dar una definición, pero intuitivamente sabemos más o menos qué significa):

1. En R, la relación $x_1-x_2 \in Z$ da como cociente $S^1$. Aquí $R$ tiene dimensión 1, y $Z$ tiene dimensión 0, al ser un espacio discreto. Y $S^1$ tiene dimensión 1 al ser una curva. Aquí sería $1-0=1$.

2. En $R^2$ la relación $(x_1,y_1)R(x_2,y_2 )$ si $x_1-x_2 \in Z, y_1-y_2\in Z$. El cociente es un toro, que al ser una superficie tiene dimensión 2. Por otro lado $ZxZ$ es un conjunto discreto, luego tiene dimensión cero. Aquí sí funciona 2-0=2.
3. En $R^2$ se define la relación $(x_1,y_1)R(x_2,y_2 )$ si $x_1=x_2$. El espacio cociente es $R.$ Como la ligadura $x=x'$ es una recta en $R^2$, sería dimensión 1. Por tanto vale de nuevo la relación 2-1=1.

3. En $R^3$, se toma $pRq$ si $p=q$. Se probó que el espacio cociente es $[0,\infty)$. La ligadura $p=q$ define una superficie, por tanto, sería dimensión 2. De nuevo funciona la "fórmula": $3-2=1$.

4. En $R^2$, se considera $(x_1,y_1)R(x_2,y_2 )$ si $x_1^2-y_1={x_2}^2-y_2$. Se vio que el cociente es $R$. La ligadura define una parábola, que tiene dimensión 1, al ser una curva. Por tanto, de nuevo sigue siendo cierta la "fórmula": 2-1=1.

¿Qué opináis? Podéis seguir poniendo ejemplos.

Dibujos de planos proyectivos

Ya he afirmado hoy que no es posible encontrar un objeto en el espacio euclídeo de dimensión R^3 que sea homeomorfo al plano proyectivo. Se dice que el plano proyectivo no se puede embeber en el espacio, es decir, no existe una aplicación $\phi:RP^2\rightarrow R^3$ que sea un embebimiento: $\phi:RP^2\rightarrow \phi(RP^2)$ es un homeomorfismo. El "objeto" de R^3 sería $\phi(RP^2)$.

Sin embargo, y como pasaba con la botella de Klein, existen conjuntos que son "casi" el plano proyectivo. Se dice entonces que el plano proyectivo está inmerso en $R^3$. Dije también que en internet podéis encontrar muchos dibujos de esos conjuntos. Os pongo algunos.

También os recomiendo las siguientes páginas webs:
http://ochoa.mat.ucm.es/~jesusr/expogp/topplan.html
http://mathworld.wolfram.com/BoySurface.html

Dibujo de la banda de Möbius

Una parametrización de la banda Möbius la podéis encontrar en http://mathworld.wolfram.com/MoebiusStrip.html Si la anchura de la banda es w y el radio donde gira el segmento de anchura w es R, entonces la parametrización es

$x=(R+s \cos{(\frac{t}{2})})\cos{(t)}$

$y=(R+s \cos{(\frac{t}{2})})\sin{(t)}$

$z=s\sin{(\frac{t}{2})}$

Aquí $s\in [-w,w]$ y $t\in [0,2\pi]$.

Os animo que lo dibujéis con el Mathematica. La superficie es la siguiente:

También dije que en el libro de M. P. do Carmo "Differential Geometry of Curves and Surfaces", en las páginas 106-107, aparece explicado porqué es esa parametrización: aquí w=1 y R=2. También se explica porqué no es orientable, aunque esto es más complicado de formalizarlo matemáticamente, ahora en 2º de Matemáticas.

En el curso pasado y en este blog de topología, había entradas sobre la banda de Möbius.

Caso especial de la compactificación de Alexandrov

Sabemos que todo espacio admite una compactificación por un punto. Concretamente, si $(X,\tau)$ es el espacio topológico, definimos un nuevo espacio $(X^*,\tau^*)$ con $X^*=X\cup\{p\}$, donde $p$ es un objeto que no está en X y $\tau^*=\tau\cup\{X^*\}$. Tomamos como embebimiento de X en $X^*$ la inclusión.

Por otro lado, dado un espacio no compacto, la compactificación de Alexandrov es la topología definida en $X^*$ cuyos abiertos son, además de los de X, los complementarios en $X^*$ de conjuntos cerrados y compactos de X.

A veces, ambas compactificaciones ¡coinciden! Son los casos en los que el único conjunto cerrado de X es el conjunto vacío. Por tanto, de los nuevos abiertos en $X^*$, sólo hay uno: el complementario del vacío, que es $X^*$, obteniendo la topología $\tau^*$. Ejemplos han salido en clase:

1. Los números reales con la topología a derechas. Los números naturales con la topología que tiene por abiertos $A_n=\{1,\ldots,n\}$.
2. El intervalo abierto $(0,1)$ y los abiertos son los conjuntos de la forma $A_n=(0,1-\frac{1}{n})$.

A veces, un punto determina la compacidad

A raíz del examen de ayer, voy a escribir un tipo de espacios topológicos que han salido varias veces, pero ahora vamos a poner el "teorema". Son aquéllos en los que un punto nos dice que el espacio ya es compacto. Concretamente, en un espacio topológico en el que existe un punto $p$ de forma que el único entorno de dicho punto es el propio espacio, entonces el espacio es compacto. Esto es evidente, pues dado un recubrimiento por abiertos, habrá un abierto que contenga a dicho punto $p$. Pero el único abierto que lo contiene es todo el espacio, y por tanto éste nos da el subrecubrimiento finito.

Ejemplos de espacios topológicos con esta propiedad P son los siguientes:

• El espacio topológico trivial: todo punto satisface la propiedad P.
• La topología del punto excluido: el punto que se excluye satisface P.
• En el conjunto de los números naturales con la topología que tiene por abiertos los conjuntos A_n=\{n,n+1,...\}. El punto es $p=1$.
• En el intervalo $X=[0,1]$ con la topología cuyos abiertos son, aparte de los triviales, los conjuntos de la forma, $[0,a)$. El punto es $p=1$.

Compactificación de Alexandrov de la topología del punto incluido

Cuando hacemos ejercicios con la compactificación de Alexandrov de un espacio $X$, usualmente tomamos $X$ como un subconjunto de $R^n$ con la topología usual (a ser posible abierto o cerrado). Entonces X es Hausdorff y localmente compacto y podemos usar el teorema de caracterización.

Propongo "compactificar" uno de los espacios tan trabajados en clase como es un conjunto con la topología del punto incluido. La pregunta que hago es qué sería la compactificación de Alexandrov de dicho espacio. Por si queréis centraros más, podemos poner $X$ la recta real y el punto fijo $p=0$.

Primero hay que añadir un nuevo punto, el "infinito". También hay que calcular los conjuntos cerrados, y también de ellos, los que son compactos. Seguir...

Compacidad y magia añadiendo un punto

En clase hemos considerado este ejemplo. Sea $(X,T)$ un espacio topológico cualquiera y sea p un objeto que no pertenece a $X$. Consideramos ahora $X^*=X\cup \{p\}$ y la topología $T^*$ es $T$ junto con $X^*$. Dos hechos importantes:

1. La topología inducida en $X$ es la que ya había, es decir, $T$.

2. El espacio $(X^*,T^*)$ es compacto.
Con este ejemplo mostramos que añadiendo un único punto a un espacio (pensemos que no fuera compacto) el nuevo espacio es compacto con el hecho IMPORTANTE que la topología inducida en X NO ha cambiado. Esto quiere decir que siempre podemos "colocar" un espacio en otro que sí es compacto añadiendo sólo un punto. La pena en este ejemplo es que el espacio no es Hausdorff, cosa que siempre aspiramos (por la unicidad de límites en sucesiones convergentes, por ejemplo).
El otro ejemplo era el de la anterior entrada. En este caso, el espacio original, a saber, $[0,1]$, ya era compacto. Sin embargo, el nuevo espacio, el que se ha formado añadiendo un nuevo punto es compacto y la topología inducida en $[0,1]$ es la que ya había (en este caso, la topología usual).

La compacidad del 73

Ya he comentado varias veces en clase el libro "Counterexamples in Topology" de Steen y Seebach. Ver también http://topologia-i.blogspot.com/2009/03/separacion-algunos-ejemplos.html
Aparecen 143 espacios topológicos a los cuales se les estudia si satisfacen o no propiedades topológicas, poniendo en una (gran) tabla de dos entradas, por un lado el espacio topológico, y en el otro, la propiedad. Ponen 1 si la satisface y 0 si no: ver las páginas 170 a 179.
Como estamos ahora con la compacidad, me fijo en el número 73, el que llaman "Telophase topology". El espacio es el siguiente. Sea $X=[0,1]\cup\{p\}$, donde $p$ es un objeto que no está en X. La topología T se define por bases de entornos. Para los puntos de $[0,1]$, la base es la de la topología usual. Y para el punto p es la formado por los conjuntos de la forma $(a,1)\cup\{p\}$, donde a está en $[0,1)$. Puede probarse que una base $\beta$ es la formada por los de la base usual en $[0,1]$ junto los conjuntos de la forma $(a,1)\cup\{p\}$.
También es obvio que la topología inducida en $[0,1]$ es la topología usual, es decir, $T_{[0,1]}=\tau_u$.
En el libro, para la compacidad del 73 ponen 1. Efectivamente, el espacio es compacto. Tomamos un recubrimiento por elementos de la base $\beta$ del espacio. Uno de ellos, debe contener al punto p, luego ése es de la forma $O=(a,1)\cup\{p\}$ para algún $a\in[0,1]$. El resto de abiertos recubre el conjunto $[0,a]$, que es compacto: ¡la topología inducida en $[0,a]$ por $T$ coincide con la usual!, y sabemos que $[0,a]$ es compacto. Por tanto, existirá un subrecubrimiento finito. Si a ese recubrimiento le añadimos $O$, hemos acabado.
Dejo la pregunta sobre la compacidad local ¿es Hausdorff?

Compacidad, cerrados, Hausdorff

En clase se ha probado que en un espacio Hausdorff, los conjuntos compactos son cerrados. Si el espacio no es Hausdorff, no es cierto el resultado. Un ejemplo sencillo es tomar cualquier espacio topológico finito. Entonces todo conjunto es compacto, al ser finito, pero no todo conjunto es cerrado (a no ser que el espacio tenga la topología discreta). Otro ejemplo sería un conjunto con la topología de los complementos finitos. Se sabe que la topología inducida en todo subconjunto es de nuevo la topología cofinita, es decir, todo subconjunto es compacto. Sin embargo, si el conjunto no es finito, no es cerrado ¿Podéis encontrar más ejemplos?

La otra pregunta que dejo es la de encontrar espacios que no sean Hausdorff de forma que todo conjunto compacto sea cerrado.

Por cierto, Hausdorff fue un matemático alemán que vivió hasta los años cuarenta y con un triste final (http://personal.us.es/arias/TM/06-Hausdorff.pdf y http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Hausdorff.html).

Buscando bases numerables (y II)

Continúo con la entrada anterior. La demostración de la existencia de la base $\gamma$ aparece en los apuntes del tema 5 (proposición 1.6.6 y corolario siguiente. Directamente de ambos, es la siguiente prueba. Sea $\beta=\{B_i;i\in I\}$ y $\beta^\prime$ una base numerable. Se define $\gamma=\{B_{ij};\exists i,j\in I, B_{i}^{\prime}\subset B_{ij}\subset B_j^\prime, B_{ij}\in\beta, B_{i}^{\prime},B_{j}^{\prime}\in\beta^{\prime}\}$. Este conjunto no es vacío. Para ello, sea B_{j}^{\prime} cualquiera y x un elemento suyo. Entonces existe $B_z\in\beta$ con $x\in B_z\subset B_{j}^{\prime}$. Como
$\beta^{\prime}$ es base, existe $B_{i}^{\prime}, x\in B_{i}^{\prime}\subset B_z$.

Para cada para $(i,j)\in I\times I$, puede haber muchos conjuntos $B_z$. Tomamos uno y lo fijamos (usamos el axioma de elección). Y lo llamamos $B_{ij}$. Si $\gamma$ es base, ya hemos acabado, ya que $card(\gamma)\leq card(I\times I)$ y si $I$ es finito, entonces $I\times I$ también lo es, y si $I$ es infinito (numerable), entonces
$card(I\times I)=card(I)=card(N)$.

Para probar que $\gamma$ es base (como ya son abiertos) hay que tomar un abierto O y x un elemento suyo. Usando que $\beta$ y $\beta^{\prime}$ son bases, se tiene que existe j con $x\in B_{j}^{\prime}\subset O$ y existe $B_z\in\beta$ con $x\in B_z\subset B_{i}^{\prime}$. De nuevo, existe i con $x\in B_{i}^{\prime}\subset B_z$. Por tanto, para el par $(i,j)$, consideramos $B_{ij}\in\gamma$, el cual satisface $B_{i}^{\prime}\subset B_{ij}\subset B_{j}^{\prime}$. En particular, $x\in B_{ij}\subset O$.

Buscando bases numerables

Voy a recordar un "método" para saber si un espacio es ANII (o ANI). Supongamos que el espacio es conocido o ha sido trabajado. Entonces es muy posible que ya sepamos cuál es una base de abiertos $\beta$. Entonces tenemos dos posibilidades:

1) Si $\beta$ es numerable, entonces el espacio es ANII.
2) Si $\beta$ no es numerable, (y ahora viene lo importante), y si el espacio es ANII, habría una base $\gamma$, con $\gamma\subset\beta$ de forma que $\gamma$ es numerable. Habría que trabajar ahora con esta base para estudiar si es posible o no la existencia de esta base $\gamma$.

En clase hemos visto varios ejemplos de ellos (topología de Sorgenfrey, topología a derechas, etc. Pongo otro. Si $X$ no es numerable, entonces la topología del punto incluido (para $x=p$) no es ANII. Para ello se toma como base $\beta=\{\{x,p\};x\in X\}$. Si es ANII, entonces existe una base del tipo $\gamma=\{\{x_i,p\};i\in N\}$. Pero como $X$ no es numerable, existe un elemento y en $X$ tal que $y\not= x_i,p$ (en caso contrario, X sería numerable). Entonces como $\{y,p\}$ es un abierto, existiría $i\in I$ tal que $y\in\{x_i,p\}\subset\{y,p\}$. Esto implica $y=x_i$: contradicción.

En clase se probó que este espacio no era ANII viendo que $\beta$ es la base más pequeña.

Buscando un contraejemplo

El axioma de separación "normal" no es productiva, es decir, no se mantiene (en general) por productos topológicos. El ejemplo que siempre aparece es la recta de Sorgenfrey $(R,\tau_S)$. Este espacio es normal. Sin embargo, $(R\times R,\tau_S\times\tau_S)$ no es normal. Estoy buscando otro ejemplo. Estoy pensando en tres formas de obtener contrajemplos.

Primero, a partir de topologías definidas en $R$, y haciendo el producto consigo misma. Pienso en la topología a derechas, la cual es normal. La pregunta es si $(R\times R,T_d\times T_d)$ es o no normal.

La otra forma es buscando ejemplos en conjuntos finitos. Por ejemplo, en la topología de Sierpinski, que sí es normal, y haciendo el producto por sí misma.

Finalmente, tomando dos espacios topológicos $(X,T)$, $(Y,T^\prime)$ donde $X$ e $Y$ son distintos. Por ejemplo, $(X,T)=R$ con la topología usual e $(Y,T^\prime)$ la topología de Sierpinski.

Separación de puntos

En el ejemplo de hoy tomamos un conjunto $X$ y una partición por dos conjuntos $A$ y $B$, cada uno con más de dos puntos. Tomamos como abiertos de la topología $T$, aparte de los triviales, a los conjuntos $A$ y $B$. Hemos probado que no es Hausdorff ya que dos puntos de $A$ no pueden separarse por abiertos. Esto se debe a que el único abierto que contiene a cada uno de esos puntos es $A$ (aparte de $X$).

Algo parecido lo podemos en la topología del punto incluido: sea $X$ un conjunto y $p$ el punto elegido. Entonces todo abierto contiene al punto p, luego dos abiertos distintos siempre se cortan. Esto significa que no es Hausdorff.

Y también algo parecido sucede cuando en el espacio topológico existen puntos algo "patológicos". Por ejemplo, si hay un punto, donde el único entorno es todo el espacio. Esto sucede por ejemplo en la topología de Sierpinski o en la topología del punto excluido, donde el único entorno del punto excluido es todo el espacio.

Convergencia de sucesiones en la topología de Sorgenfrey

En la topología de Sorgenfrey, consideramos $\{x_n\}\rightarrow x$ y tomamos como entorno $[x,x+\epsilon)$. Entonces a partir de un cierto lugar $m$, $x_n\in [x+\epsilon)$. Por tanto, podemos comparar la "definición" de convergencia en $\mathbb{R}$ con la topología usual, con la definición en la topología de Sorgenfrey, que es la siguiente:

Para cada $\epsilon>0$, existe un natural m tal que si $n\geq m$, $0\leq x_n-x<\epsilon$.

De esta forma podemos encontrar sucesiones convergente para la topología usual que no lo son en la de Sorgenfrey. Concretamente, si $x_n\nearrow x$ en la topología usual, nunca converge en la topología de Sorgenfrey.

Convergencia de sucesiones en la topología a derechas

Sea $R$ con la topología a derechas. Recuerdo (de clase) que la sucesión $\{\frac{1}{n}\}$ converge a $x=-80$, ya que para el entorno de la base de entornos de $x$, esto es, $U=[-80,\infty)$, todos los elementos de la sucesión pertenecen a $U$.

En general, teníamos carecterizadas la sucesiones convergentes del siguiente modo: $\{x_n\}\rightarrow x$ si y sólo si, a partir de un cierto lugar, $x\leq x_n$.

Cambiemos de topología en $R$ y consideremos $T$ la que tiene por base $\beta=\{(a,\infty);a\in R$. Una base de entornos de x es $\beta_x=\{(x-1/n,\infty);n\in N\}$. Por tanto, si una sucesión, a partir de un cierto lugar, satisface $x\leq x_n$, entonces converge a $x$. Sin embargo, no es cierto el recíproco. Así, la sucesión $\{-1/n\}$ converge a $0$, pues dado un entorno $U=(-1/m,\infty)$, si $n\geq m$, entonces $1/n\in U$.

Por tanto, hay sucesiones convergentes en T que no lo son en la topología a derechas.

Caminos y conexión

Juntando conexión, el teorema del valor medio y el concepto de camino, podemos probar lo que vemos en la calle. Me explico. En el espacio R^3, consideramos la esfera unida S^2 y los puntos $p=(0,0,0$) y $q=(0,0,2)$. Sea
$\alpha:[0,1]\rightarrow R^3$ un camino que una $p$ con $q$. Queremos probar que la curva $\alpha$ debe intersecar la esfera $S^2$ (cosa que se "ve" claramente).

Consideramos$\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$ las funciones coordenadas del camino y definamos la función $f:[0,1]\rightarrow R$ dada por $f(t)=\langle\alpha(t),\alpha(t)\rangle=x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2$. Esta aplicación es continua. Veamos qué ocurre en los extremos del intervalo. Así, $f(0)=|p|^2=0$ y $f(1)=|q|^2=4$. Ya que $[0,1]$ es conexo, por el teorema del valor medio, existe
$t_0\in [0,1]$ tal que $f(t_0)=1$. Esto quiere decir que $|\alpha(t_0)|^2=1$, es decir, $\alpha(t_0)\in S^2$.

¿Qué prefieres, conexo o arcoconexo?

Muchos de los ejercicios que hemos hecho para saber si un subconjunto de un espacio euclídeo es conexo, han sido consistido en verdad en probar que el conjunto es arcoconexo: se tomaba dos puntos cualesquiera y se encontraba un conexo que los contuviera. Pero, generalmente, dicho conjunto no era más que la imagen de un camino en el espacio.

Es natural preguntarse si el concepto de arcoconexión es "más importante" que el de conexión, sin saber muy bien a qué me refiero con "importante". Pero dejo la cuestión ahí. Habrá que saber mucha topología para saber dar una respuesta adecuada.

Lo último que puedo decir es que cuando uno estudia el grupo fundamental de un espacio topológico, concepto muy importante en topología algebraica, todo gira alrededor de caminos del espacio.

Arco-conexión versus conexión

Existe un matiz importante a la manera de trabajar para probar si un espacio es conexo a demostrar que es arcoconexo. En el primer caso, hay que probar que "no existe una partición por abiertos no trivial del espacio", mientras que para demostrar que el espacio es arcoconexo, hay que "hallar un camino entre dos puntos cualesquiera del espacio". En éste caso, el esfuerzo es "encontrar" dicho camino, es decir, hay que imaginarse, de un modo u otro, cómo puede ser ese camino, definirlo, y probar que, efectivamente, es un arco.

Sin embargo, el probar que un espacio es conexo es probar la "no existencia", lo cual es completamente diferente.

Muestro a continuación un ejemplo. Se considera un conjunto X con la topología T del punto incluido para un punto p dado.

1. Es espacio es conexo. Sea una partición por abiertos del espacios, $X=A\cup B$. Uno de ellos, por ejemplo A, debe contener a p. Por tanto, por la forma que es T, B tiene que ser el vacío, y así, A=X.

2. El espacio es arcoconexo. Se va a probar que p se puede unir con cualquier otro punto q mediante un camino. El problema surge en ¿pero cómo lo defino? ¿cómo son las aplicaciones continua de I=[0,1] en X? Un ejemplo de camino es (¡sorprendente!) $\alpha(t)=p$ si $t\in [0,1)$ y $\alpha(1)=q$ (¡probar que $\alpha$ es continua!)

Resulta sorprendente por que la imagen de la curva, es decir, $\alpha([0,l])$ está formada por ¡dos puntos!

Creo que a pocos se les ocurriría definir así el camino, a no ser un experto-punto-incluidiano.

Sobre el Teorema de Borsuk

El Teorema de Borsuk que hemos dado afirma que dada una función continua en la esfera $S^2$, existe un punto donde la función coincide con su antípoda. Podemos afirmar que no sólo hay uno, sino infinitos.

Sea $f$ dicha función. Consideramos círculos máximos de la esfera, es decir, intersecciones de la esfera con planos que pasan por el centro de la misma. Estos círculos máximos son circunferencias con el mismo radio que la esfera y todo punto de cada círculo tiene un punto antípoda en dicho círculo.

Consideramos ahora un círculo máximo $C_1$ y restringimos f a dicho conjunto. Usando el Teorema de Bolzano del mismo modo que se hizo para esfera, existe $p_1$ en $C_1$ tal que $f(p_1)=f(-p_1)$. Sea ahora $C_2$ otro círculo máximo que no pase por $p_1$. para $C_2$ habrá el correspondiente punto $p2$ tal que $f(p2)=f(-p_2)$ y por tanto, distinto de $p_1$. Dicho punto $p_2$ podría estar en $C_1$. Dados $p_1$ y $p_2$ consideramos otro círculo máximo $C_3$ y el correspondiente $p_3$, y así sucesivamente.

Nos podemos preguntar por el tamaño del conjunto $A=\{p\in S^2;f(p)=f(-p)\}$. El razonamiento anterior nos dice que dicho conjunto es infinito numerable, pero no sé si es no numerable. También podría ocurrir que A estuviera contenido en un círculo máximo.

Pero ¿$int(A)\not=\emptyset$?, es decir, ¿existe un conjunto abierto $B$ en la esfera donde $f(p)=f(-p)$ para cualquier punto de $B$?

(por Nico Pérez)

Saber todos los conexos de un espacio

De los ejercicios hechos en clase del tipo si un espacio topológico es conexo o no quiero hacer una pequeña observación. Hay espacios "conocidos" del que nos preguntamos si es conexo. Por ejemplo, la esfera $S^n$. Otra cosa diferente es saber cuáles son todos los conjuntos conexos de la esfera. Esta pregunta tiene en general una respuesta difícil, ya que el número (y complejidad) de los subconjuntos de un espacio topológico es generalmente inmenso.

Sólo en algunos casos contados, se ha dado una respuesta "completa". Por ejemplo, los conjuntos conexos de $R$ con la topología usual son los intervalos. Pero si nos fijamos, pasando sólamente de $R$ a $R^2$, ya nos encontramos con una diversidad de casos y no tenemos una respuesta tan satisfactoria como la que se ha conseguido para $R$.

Todo viene a cuenta del ejemplo de la topología del punto incluido. Se ha visto que un conjunto $X$ con la topología del punto incluido es conexo. Pero también se ha probado cuáles son los conexos de $X$: si el conjunto contiene al punto destacado, entonces es conexo, y si no, no es conexo (a no ser que tenga sólo un punto). La clave en la solución de este problema en este caso concreto es que hemos sido capaces de saber cómo es la topología inducida en un conjunt $A$ de $X$. Concretamente,

• Si $p\in A$, entonces la topología es la topología del punto incluido en $A$ (para el mismo punto destacado).
• Si $p\not\in A$, entonces la topología es la discreta.

Sabido ya cómo es la topología inducida, da la casualidad que para ambas topologías ya se ha estudiado si el espacio es conexo (para la primera sí; para la segunda no, a no ser que el conjunto tenga un único elemento).

Confudámosnos...

... con las palabras conexo, componente, abierto y cerrado.

Una componente conexa es cerrada pues su adherencia, que es más grande, es conexa. Como no puede ser más grande, es igual: una componente es cerrada. Pero no tiene porqué ser abierta (ejemplo: ¿componentes de $Q$, conjunto de números racionales?).

Si el número de componentes es finito, entonces también son abiertos, ya que toda componente es complementario de las demás componentes, que es unión finita de cerrados, es decir, cerrado.

En el ejemplo de clase $A=(R\times\{1\})\cup(R\times\{-1\})$ las dos componentes son conjuntos abiertos. Este ejercicio se puede generalizar fácilmente diciendo que si se tiene una partición del espacio por abiertos conexos, entonces dichos abiertos coinciden con las componentes conexas. Este resultado es una condición suficiente ya que, como he escrito antes, $Q$ es unión de sus componentes que no son abiertos.

Reflexionad...

Un caso especial de conjuntos conexos

Un espacio topológico donde dos abiertos NO triviales SIEMPRE se interseca es conexo. Cuando se dice que un abierto es trivial, nos referimos a que es el conjunto vacío, o es todo el espacio. Efectivamente, si $X=A\cup B$ es una partición por abiertos, ya que $A\cap B=\emptyset$, entonces alguno de ellos es trivial. Supongamos que $A=X$. Como $B$ es disjunto de $A$, entonces $B$ es el conjunto vacío. Si $A=\emptyset$ y como $X=A\cup B$, entonces $B=X$.

Mostramos dos ejemplos de cómo se aplica el resultado es el siguiente: $R$ con la topología a derechas es conexo. La topología a derechas es la generada por $\beta=\{[a,\infty);a\in R\}$. Ya que los abiertos son uniones de elementos de $\beta$ y dos elementos de $\beta$ se intersecan, lo mismo le sucede a los abiertos.

El otro ejemplo es la topología del punto incluido, que también es conexa: ya que cualquier abierto no trivial contiene al punto prefijado, entonces dos abiertos no triviales siempre se intersecan.

Toro topológico

En clase nos ha aparecido en un ejercicio una "estructura" que denominamos toro topológico, pero no hemos profundizado mucho en ella. Veamos aquí de qué estamos hablando verdaderamente cuando realizábamos ese ejercicio en la pizarra.

Se llama así a la superficie de revolución engendrada por la rotación de una circunferencia en torno a un eje que no la toque en ninguno de sus puntos. Topológicamente, es una superficie cerrada definida como el producto cartesiano de dos circunferencias: $S^1\times S^1$ con la topología producto.

Quizás con un dibujo nos imaginamos mejor qué estamos diciendo:

Aquí estaríamos en el caso que podemos pintar, pero claramente podemos generalizar fácilmente el toro a cualquier dimensión. Un toro n dimensional se define como el producto de n circunferencias: $T^n=S^1\times\ldots\times S^1$.

Buscando curiosidades sobre el toro he visto una que llama la atención. Cuando jugamos a un videojuego de estrategia, si nos fijamos en el mapa pequeñito observamos como los personajes, cuando viajan hacia el norte aparecen por el sur, es decir, parece que le han dado la vuelta al mundo. Sorprendente. El sitio virtual donde esto ocurre se denomina mundo toroide y se utiliza este tipo de efecto para dar una impresión al jugador de mundo esférico.

(Por Pedro J. Barragán)

Producto de la topología del punto excluido por sí misma

Sean X e y dos conjuntos, $a\in X, b\in Y$ y $T$ y $S$ las topologías del punto excluido en $X$ e $Y$, para los puntos $a$ y $b$, respectivamente. En $X\times Y$ se toma la topología $T^\prime$ del punto excluido para el punto $(a,b)$. En clase se propuso que se compararan las topologías $T\times S$ y $T^\prime$. Un ejercicio parecido se hizo para las topologías del punto incluido.

Veamos primero que $T\times S\subset T^\prime$. Para ello es suficiente con probar que si $O\in T, G\in S$, entonces $O\times G\in T^\prime$. Si $T=X$, $G=Y$, entonces es evidente que $O\times G\in T^\prime$. Supongamos ahora el caso que $a\not\in O$. Entonces $(a,b)\not\in O\times G$, y por tanto, $O\times G\in T^\prime$.

Por otro lado, la inclusión $T^\prime\subset T\times G$ no tiene porqué darse. Damos un contraejemplo. Sea $X=Y=\mathbb{R}$, $a=b=0$. El conjunto $V=\{(1,0)\}$ pertenece a $T^\prime$, sin embargo no es abierto en $T\times S$. Para ello, es suficiente con darse cuenta que el punto $(1,0)$ no es interior (para la topología $T\times T$) del conjunto: si lo fuera, existirían $O,G\in T$ tales que $(1,0)\in O\times G\subset V$. Como $0\in G$, entonces $G=\mathbb{R}$. Pero es evidente que $O\times\mathbb{R}\not\subset V=\{(1,0)\}$.