Arco-conexión versus conexión

Existe un matiz constructivo entre probar que un espacio es conexo y que sea arco-conexo. Para probar que un espacio es conexo hay que demostrar que no existe una partición por abiertos no trivial, y para ver si es arco-conexo hay que construir para cada dos puntos un arco que los une. Por tanto, en esta última situación hay que hallar explícitamente dicho arco.

Estaba claro en el ejemplo de clase que hemos visto hoy. Consideramos $X=\mathbb{R}^2-\mathbb{S}^1$. Este espacio no es conexo, pues $X=A\cup B$, siendo $A$ la bola $B_1(0,0)$ y $B$ la corona circular $B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;x^2+y^2>1\}$. Tanto $A$ como $B$ son conjuntos abiertos del plano, luego son abiertos relativos de $X$ y forman una partición no trivial del mismo: el espacio no es conexo.

Veamos ahora que no es arco-conexo. No vamos a usar el resultado de que arco-conexo implica conexo, sino que vamos a probar explícitamente que no es posible encontrar arcos que unan puntos de $A$ con los de $B$. Sean $x$ e $y$ puntos de sendos conjuntos y sea $\alpha:[0,1]\rightarrow X$ un arco que une $x$ con $y$. Se define la aplicación $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ como $f(t)=|\alpha(t)|$. Esta aplicación es continua, pues $f=g\circ \alpha$ y g es la restricción a X de la aplicación $(x,y)\longmapsto\sqrt{x^2+y^2}$. Como $f(0)=x<1$ y $f(1)=y>1$, el teorema del valor intermedio asegura que existe $t$ tal que $f(t)=1$, en particular, $\alpha(t)\in\mathbb{S}^1$: contradicción.

Las componentes conexas de $X$ son $A$ y $B$, pues ambos son conexos (uno es convexo y el segundo es una corona, de la que se probó que era conexa -en verdad, arco-conexa-). Si $x\in A$, $A\subset C_x$. Si hubiera puntos de la componente en $B$, entonces podríamos escribir $C_x=(A\cap C_x)\cup (B\cap C_x)$ y C_x no sería conexo. Luego $A=C_x$. De la misma forma, $B$ es la otra componente conexa.

Las componentes arcoconexas de $X$ son también $A$ y $B$. En primer lugar, $A$ y $B$ son conjuntos arco-conexos. Por otro, si $x\in A$, $A\subset A_x\subset C_x=A$, probando $A=A_x$. De la misma forma, se prueba $B$ es la otra componente arcoconexa.