Los "segmentos" no son "arcos"

Si $x,y$ son dos puntos del espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$ se define el segmento $[x,y]$ como $[x,y]=\{(1-t)x+ty;t\in[0,1]\}$ y la aplicación $\alpha:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^n dada por $\alpha(t)=(1-t)x+ty es continua (con la topología usual), es decir, es un arco que une $x$ con $y$. Si cambiamos de topología, $\alpha$ puede dejar de ser continua.

Consideramos en $\mathbb{R}$ la topología T del punto incluido con $p=2$. La aplicación $\alpha(t)=t$, que une $0$ y $1$, no es continua, pues $\{1,2\}\in T$ y $\alpha^{-1}(\{1,2\})=\{1\}$ no es abierto en $[0,1]$. Sin embargo $(\mathbb{R},T)$ es arco-conexo.

Tomamos en $\mathbb{R}$ la topología T del punto excluido, con $p=2$. La aplicación anterior no es continua pues $\{1\}\in T$ pero $\alpha^{-1}(\{1\})=\{1\}$ no es abierto en $[0,1]$. Este espacio también es arco-conexo.

Si se toma la topología discreta T en $\mathbb{R}^n$, la aplicación $\alpha(t)=(1-t)x+ty$ no es continua, pues $\{x\}\in T$ y $\alpha^{-1}(\{x\})=\{0\}$, que no es abierto.

Sea el conjunto $X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;y\geq 0\}$ con la topología T del plano de Moore. La aplicación $\alpha(t)=(t,0)$ une el punto $(0,0)$ con $(1,0)$ y no es continua, pues si $B_t$ es un elemento de la base de entornos de $(t,0)$, $\alpha^{-1}(B_t)=\{t\}$, que no es abierto en $[0,1]$.