Conexión y teorema del valor intermedio

Ya se comentó en clase que el teorema del valor intermedio nos afirma que ciertas ecuaciones tienen solución. A continuación se va a poner dos ejemplos del mismo, que aparecen siempre como "curiosidades" de la Topología. Lo que viene a continuación lo he sacado de unos apuntes de topología que a mí, personalmente, me gustan: Topología (la Topología de segundo no es tan difícil), del Prof. Chamizo. También hay un enlace en este blog.

Problema 1. Consideremos una tarta circular, y por encima de la misma hay chocolate (que no tiene porqué cubrir toda la tarta). Además el grosor puede variar y puede haber chocolate distribuido a trozos ¿es posible hacer por el centro de la tarta un corte con un cuchillo de forma que haya el mismo chocolate en cada uno de los dos cortes? La respuesta es sí. La demostración es la siguiente.

Podemos suponer que la tarta es el disco D centrado en el origen del plano y radio 1. El borde de la tarta lo vemos como $S^1=\{(\cos(t),\sin(t));t\in[0,2\pi]\}$. Cada corte por el centro viene dado por una recta que une un punto de la forma $p(t)=(\cos(t),\sin(t))$ con otro de la forma $p(t+\pi)=(\cos(t+\pi),\sin(t+\pi))$. Sea $L(t)$ dicha recta que divide a $D$ en dos partes $A(t)$ y $A(t+\pi)$ que se corresponden, respectivamente, con la parte que va de $p(t)$ a $p(t+\pi)$ y la recta $L(t)$, en el sentido contrario a las agujas del reloj y la otra la que va de $p(t+\pi)$ a $p(t+2\pi)=p(t)$. Concretamente $A(t)=\{r(\cos(s),\sin(s));r\in [0,1],s\in [t,t+\pi]\}$. Se define la función $f:[0,\pi]\rightarrow \mathbb{R}$ como f(t)=(cantidad de chocolate que hay en A(t))-(cantidad de chocolate que hay en $A(t+\pi)$. Esta función es continua, ya que al variar de forma continua los cortes, la cantidad de chocolate también varía continuamente. Además $f(0)=A(0)-A(\pi)$ y $f(\pi)=A(\pi)-A(\pi+\pi)=A(0)$. Por tanto, $f(\pi)=-f(0)$. Por el teorema del valor intermedio, existe $t_0$ tal que $f(t_0)=0$. Por tanto el corte hay que hacerlo a través de la recta $L(t_0)$.

Problema 2. Sea una cinta de goma $R$ de forma rectilínea sobre un papel y marcamos con un lápiz el segmento que determina en el papel. Cogemo ahora la cinta $R$, la doblamos, estiramos, encojemos como queramos y la superponemos sobre la traza marcada en el papel de forma que los extremos de la cinta deformada coincidan con los extremos de la marca hecha en el papel. Entonces se puede asegurar que hay un punto de la cinta deformada que no se ha movido de su posición original marcada con el lápiz. De nuevo, podemos pensar que $R=[0,1]$ y que la deformación que hemos hecho con $R$ es simplemente una aplicación continua $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$. El teorema del punto fijo nos dice que existe $x_0$ tal que $f(x_0)=x_0$, y este es el punto $x_0$ que no se ha movido de posición (a pesar de todo lo que le hayamos hecho a $R$).