lunes, 16 de febrero de 2009

Más sobre nudos

Esta entrada sigue con la teoría de nudos. Recuerdo que un nudo es un espacio homeomorfo a un círculo. En el espacio euclídeo \mathbb{R}^3 se dice que dos nudos son equivalente si existe una serie de homeomorfismos del espacio que me lleva un nudo en otro. Un problema en topología es la clasificación de nudos, es decir, dados dos nudos, saber si son o no son equivalentes. Este problema es difícil, y es un problema topológico. He visto un artículo en Divulgamat, donde explica más sobre nudos, y no es muy difícil de leer.

Si uno tiene un nudo anudado, es posible desanudarlo en \mathbb{R}^4, es decir, existe una serie de homeomorfismos en \mathbb{R}^4 que me lleva dicho nudo en \mathbb{S}^1\times\{(0,0)\}. Esto es posible porque "a través" de la cuarta dimensión podemos deshacer el nudo. Es algo parecido a cuando en el plano, tenemos un polígono cerrado y dentro un objeto. Nos preguntamos si es posible (dentro del plano) sacar ese objeto del polígono, sin tocar el polígono: la respuesta es claramente no. Sin embargo, si insertamos el problema en \mathbb{R}^3, basta coger el objeto a partir de la dimensión "altura" y sacarlo limpiamente del polígono.

También se estudia conjuntos de nudos que se encuentra anudados entre sí, llamados enlaces.

El estudio de nudos tiene aplicaciones, no sólo en Matemáticas, sino en otros campos de la ciencia, por ejemplo, en biología. En la sección 5 del artículo citado anteriormente explica la relación de la teoría de nudos con el estudio de la molécula del ADN, concretamente en los procesos de réplica y combinaciones de las moléculas de ADN para formar otras. El tipo de proteínas afecta a la forma de anudarse las hélices que forman el ADN. Todo ello es interesante en biología e interesa saber qué tipos de enlaces pueden aparecer en estos procesos.

Para acabar, uno también puede estudiar nudos en otros espacios, por ejemplo, en la esfera \mathbb{S}^3 y de nuevo clasificar nudos (ahora dos nudos son equivalentes si existe una serie de homeomorfismos de \mathbb{S}^3 que me lleva uno en otro).

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