Nos imaginamos los arcos como curvas "buenas", con un buen comportamiento. La curva de Peano nos dice que hay que tener cuidado. La curva de Peano es una curva continua $\alpha:[0,1]\rightarrow C=:[0,1]\times [0,1]$ tal que $\alpha([0,1])=C$, es decir, la curva rellena todo el cuadrado. Podéis ver dibujos de la curva aquí.
Otro ejemplo de curva rara es la curva de Sierpinski. En este caso la curva es cerrada ($\alpha(0)=\alpha(1)$), no se autointerseca, es decir, es inyectiva en $(0,1$). Finalmente, su imagen en densa en $C$, es decir, $\overline{\alpha(I)}=C.$
Esta curva está relacionada con el Problema del Viajante: dadas n ciudades, un punto de salida y otro final, encontrar el camino más corto que pase por todas las ciudades sólo una vez. Este problema no está resuelto hoy en día.
Otro ejemplo de curva rara es la curva de Sierpinski. En este caso la curva es cerrada ($\alpha(0)=\alpha(1)$), no se autointerseca, es decir, es inyectiva en $(0,1$). Finalmente, su imagen en densa en $C$, es decir, $\overline{\alpha(I)}=C.$
Esta curva está relacionada con el Problema del Viajante: dadas n ciudades, un punto de salida y otro final, encontrar el camino más corto que pase por todas las ciudades sólo una vez. Este problema no está resuelto hoy en día.
Las curvas anteriores tienen dimensión fractal entre 1 y 2, es decir, no son curvas como las que dibujamos en el papel. Ésta es la razón de ser "raras". Pero ¡son continuas!
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