martes, 10 de marzo de 2009

Espacio regular que no es Haussdorff

En esta entrada mostramos un ejemplo de un espacio regular que no es Haussdorff.
Sea X=\{a,b,c\} con la topología
\tau=\{\emptyset,X, O:=\{a\},G:=\{b,c\}\}.
Este espacio no es Haussdorff pues los puntos b y c no se pueden separar por abiertos: todo entorno de ambos puntos debe de contener al menos el abierto G.

Es espacio es regular. La familia de cerrados coincide con la de abiertos. Tenemos sólo dos posibilidades: que el punto sea a y el cerrado G o que el punto sea b (ó c) y el abierto sea O. En el primer caso, el entorno buscado es O y el abierto G. En el segundo, el entorno es G y el abierto O.

(por Ágata)

3 comentarios:

  1. Ahh vale!!ya me he dado cuenta que auG se pudiese por como antes he puesto, no sería abierto no??

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  2. No se me ha publicado el anterior comentario!!!Estaba preguntado que porqué G no se puede poner como {b}U{c}??eso serían dos abiertos así puestos??es que este ejemplo no entiendo bien porqué no es Haussdorff

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  3. No es lo mismo el conjunto {{b},{c}} que el conjunto {b,c}, el cardinal del primer conjunto es 2 y el del segundo es 1.En este caso el abierto G es {b,c}.
    Para ver que este espacio no es Haussdorff, hay que encontrar algún par de puntos que satisfagan que para cualesquiera entornos de uno y otro la intersección de ambos entornos no sea vacía.Empiezo cogiendo el punto a y b (o c da lo mismo). Los únicos entornos del punto a son el propio punto, por ser abierto, o el total, pero nos quedamos con el entorno más pequeño que es el propio punto ({O}).Para el punto b los entornos de este son o {G},que contiene a b y es abierto,o el total,pero nos quedamos con {G} por ser mas pequeño.En este caso la intersección de {O} y {G} es vacía, puede ser por ahora que el espacio sea Haussdorff pero probamos con otro par de puntos,con b y c. Vemos claramente que los entornos de ambos puntos coinciden ({G} o {X})por lo tanto la intersección de ellos va a ser como mínimo el conjunto G que no es vacío entonces este espacio no es T2.
    (Creo que me incluyo en ese trauma de poner llaves)

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