miércoles, 25 de febrero de 2009

Diferentes formas de probar que la esfera es conexa

Recordamos las diferentes maneras de demostrar que una esfera es conexa (y arco-conexa).

1) Sea $p\in \mathbb{S}^n$ y $A=\mathbb{S}^n-\{p\}$. Se sabe que $A$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ (por ejemplo, mediante la proyección estereográfica). Además $A$ es denso en la esfera, es decir, $\overline{A}=\mathbb{S}^n$. Se tiene un resultado que dice que si A es conexo, también lo es su adherencia. Por tanto la esfera es conexa. En este caso particular, no hemos probado que sea arco-conexa, ya que, en general, la adherencia de un conjunto arco-conexo no tiene porqué ser arco-conexa.

2) El círculo $\mathbb{S}^1$ es conexo, pues $\mathbb{S}^1=f(\mathbb{R})$, donde $f(t)=(\cos(t),\sin(t)).$ Como la recta real es conexa y la imagen de un espacio conexo mediante una aplicación continua es conexa, entonces el círculo es conexo. Probamos ahora que $\mathbb{S}^n$ es conexo por inducción sobre $n$. Supongamos cierto hasta n. Para probar que $\mathbb{S}^{n+1}$ es conexa veamos que dos puntos arbitrarios se unen mediante un conexo $A$. Sean $p$ y $q$ dichos puntos y $P$ un hiperplano que contenga a $p,q$ y el origen. Entonces $A=P\cap\mathbb{S}^{n+1}$ es homeomorfo a $\mathbb{S}^n$, luego es conexo (por inducción). Por tanto $A$ es un conexo que contiene a $p$ y $q$. Todo lo anterior es válido para arco-conexión.

3) Veamos que dados p y q en la esfera, existe un conexo (en verdad, un arco), que los une. Supongamos que p y q son vectores ortogonales. Entonces basta elegir $\alpha(t)=\cos(t)p+\sin(t)q$. Es evidente que dicho arco une p y q en los instantes $t=0$ y $t=\pi/2$ y que la imagen del arco se encuentra en la esfera. Si no fueran ortogonales ni antípodas, sea $P=< p,q>$ el plano que determinan y sea $r\in ( p^\bot)\cap P$ con $|r|=1$. En particular, $r\in\mathbb{S}^n$. Entonces $\alpha(t)=\cos(t)p+\sin(t)r$ se encuentra en la esfera, está contenido en P, y por tanto, existe s tal que $\alpha(s)=q$. En el caso de que fueran antípodas, basta tomar cualquier plano que contenga a p y -p=q. Esto prueba que la esfera es arco-conexa, en particular, conexa.

4) El espacio $\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}$ es arco-conexo. Basta darse cuenta de que todo punto se une mediante un segmento con el punto $p=(0,\ldots,0,1)$ o el punto $q=(0,\ldots,0,-1)$ y que p y q se pueden unir mediante un arco. Se considera la aplicación $f:\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}\rightarrow\mathbb{S}^n$ dada por $f(x)=\frac{x}{|x|}$. Es evidente que esta aplicación es continua y que $f(\mathbb{R}^{n+1}-\{0\})=\mathbb{S}^n$. Como la arco-conexión se mantiene por aplicaciones continuas, la esfera es arco-conexa.

2 comentarios:

  1. Hola, en primer lugar enhorabuena por el blog. Es lo más útil que he encontrado en mucho tiempo.
    Pero tengo una duda sobre "Se tiene un resultado que dice que si A es conexo, también lo es su adherencia. " ¿Cómo se demuestra? Precisamente he llegado aquí buscando ayuda para demostrar que si Y C X es conexo, y Z C X es tal que Y C Z C AdherenciaY, entonces Z es conexo, y la AdherenciaY también. Gracias.

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  2. Me extraña Patricia que no encuentres una demostración del resultado, pero una la tienes en este blog: descárgate los apuntes de conexión que aparecen a la derecha del blog. Es la proposición 1.1.22. De todas formas, cuando explico este resultado hago el siguiente comentario (válido para resultados que prueban que algo es conexo): hay varias formas de probar que un espacio es conexo. Entonces, hacer la prueba de esta proposición con cada una de dichas maneras. Por ejemplo, en los apuntes, se hace probando que toda aplicación continua que sale de Z y llega a {0,1} es constante. Como la restricción a Y es continua e Y es conexo, entonces dicha restricción es constante, y de aquí se sigue haciendo cosas en la demostración hasta acabar.

    Pero también puedes intentar probar que Z es conexo usando la definición. Para ello, consideras una partición por abiertos de Z. Si intersecas con Y, tienes una partición por abiertos de Y y como Y es conexo, dicha partición es trivial. Entonces tienes que seguir pensando hasta acabar.

    Otra forma. Prueba que los únicos conjuntos abiertos y cerrados de Z son los triviales. Sea A un tal conjunto. Intersecas con Y y tienes un conjunto abierto y cerrado en Y. Como Y es conexo, dicha intersección es el vacío o Y. Continúa pensando, hasta acabar.

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