Topología cociente y topología inducida (III)

Seguimos con las entradas anteriores.

Tomamos el espacio $X=[0,1]\times{\mathbb R}$ con la relación que $(x,y)R(x',y')$ si son iguales o si $y=y'$ y $x,x'\in\{0,1\}$. Sabemos que el cociente es homeomorfo al cilindro $Y={\mathbb S}^1\times{\mathbb R}$. La identificación que nos sirve es $f:X\rightarrow Y$, $f(x,y)=(\cos(2\pi x),\sin(2\pi x),y)$.

Tomamos ahora un conjunto $A\subset X$, que sea R-saturado, y nos preguntamos qué conjuntos $A$ son aquéllos en los que  $\tau/R)_{|p(A)}=(\tau_{|A})/R$.

Una condición suficiente es que $p(A)$ sea abierto o sea cerrado. En nuestro caso, sabemos que $f$ es cerrada. También, que $\bar{f}:X/R\rightarrow Y$ es homeomorfismo, luego ${\bar{f}}^{-1}$ también es cerrada. De esta forma, $p={\bar{f}}^{-1}\circ f$ es una aplicación cerrada.  Por tanto, tomando un conjunto $A$ cerrado, entonces en $p(A)$ tenemos la igualdad de las dos topologías.

En nuestro caso, $A=[0,1]\times [0,1]$. De esta forma, podemos afirmar que $A/R$ es homeomorfo a $f(A)$, es decir,
$$[0,1]\times [0,1]/R\cong {\mathbb S}^{1}\times [0,1].$$

Topología cociente y topología inducida (II)

Continuamos con la entrada anterior, volviendo al ejemplo último: $X=[0,1]$, $R$ la relación de equivalencia que identifica el $0$ con el $1$. Tomamos varios ejemplos de conjuntos $A$: $[0,1/2)\cup \{1\}$, $(1/4,3/4)$ y $[0,1]-\{1/2\}$. Todos estos conjuntos son saturados. Aquí la topología $\tau$ es la usual y denotamos por $S$ la relación inducida en $A$. La topología inducida en $A$ también es la usual, y la denotamos también por $\tau$.

Para el espacio $(p(A),(\tau/R)_{|p(A)}$ lo que hacemos es ver el espacio $p(A)$ como subconjunto de ${\mathbb S}^1$.

En el primer ejemplo, el conjunto cociente $(A/S,\tau/S)$ es homeomorfo a $[0,1/2)$. Basta con definir $f:A\rightarrow [0,1/2)$ como $f(x)=x$ si $x\not= 1$ y $f(1)=0$. Esta aplicación es ¡continua! (pensar) y tiene una inversa por la derecha que no es más que la inclusión.

Por otro lado, $p(A)$ es, en la circunferencia ${\mathbb S}^1$, la midad de ella, empezando en el ángulo $\theta=0$ (incluido en $p(A)$) y acabando en $\theta=\pi$, que no está incluido. Y es evidente que este conjunto es homeomorfo a $[0,1/2)$ (lo dejo también para que lo penséis).

Por tanto, aquí sí tenemos la igualdad de las dos topologías

Topología cociente y topología inducida

Nos preguntamos en esta entrada si la topología cociente se lleva bien con la topología relativa. Concretamente, consideramos una relación de equivalencia $R$ en un espacio topológico $(X,\tau)$ y sea $A\subset X$. Sea $p$ la proyección en el cociente $X/R$. En $p(A)\subset X/R$ hay dos topologías. Una es la topología inducida de $\tau/R$ en $p(A)$, es decir, $(\tau/R)_{|p(A)}$.

La otra es la siguiente. Tomamos en $A$ la topología inducida, $\tau_{|A}$ y en $A$ también consideramos la relación $R$, que sigue siendo de equivalencia: observemos que puede haber elementos de $X$ que no estén en $A$, pero relacionados con elementos de $A$, o dicho de otro modo, el conjunto $A$ no tiene porqué estar saturado. Tenemos ahora el espacio cociente $(A/R,(\tau_{|A})/R)$. Sin embargo, el conjunto cociente $A/R$ no tiene porqué coincidir con $p(A)$, justo porque $A$ puede no estar saturado. Además, puede ocurrir que $A/R\not\subset p(A)$ y/o $p(A)\not\subset A/R$.

Pongo el siguiente ejemplo (lo que viene a continuación no es topología). Sea $X={\mathbb N}$ el conjunto de los números naturales y la relación de equivalencia $R$ es la que tiene tres clases: $\{1,2,3\}$, $\{4,5,6\}$ y la tercera, es $\{7,8,\ldots\}$. Tomo $A=\{2,3,4\}$ y $R$ la relación inducida en $A$. Entonces el conjunto cociente es $A/R=\{\{2,3\},\{4\}\}$. Sin embargo, $p(A)=\{\{1,2,3\},\{4,5,6\}\}$

Por tanto, y para que tenga sentido la pregunta que hos haremos, tenemos que imponer que $A$ esté saturado, porque entonces sí es evidente que $A/R=p(A)$. La pregunta que nos hacemos es si $(\tau/R)_{|p(A)}$ coincide $(\tau_{|A})/R$.

Este problema nos lo podemos plantear en cualquier ejercicio. Por ejemplo, en el de $X=[0,1]$, $R$ la relación de equivalencia que identifica el $0$ con el $1$. Tomamos varios ejemplos de conjuntos $A$: $[0,1/2)\cup \{1\}$, $(1/4,3/4)$ y $[0,1]-\{1/2\}$.

Deformando con un dedo

Siempre decimos que las 'deformaciones' de los objetos, como si fueran plastilina, son homeomorfismos. Se me ha ocurrido hacer una deformación con un dedo de una recta. Tomo la recta $X$ del plano de ecuación $y=0$ y sea $Y$ el siguiente conjunto $$Y=({\mathbb R}-[-1,1])\times\{0\})\cup \{(x,y);x^2+y^2=1,y\leq 0\}.$$ El conjunto $Y$ es como si empujáramos $X$ con un dedo en el intervalo $[-1,1]$ y lo deformáramos en la parte de abajo de la circunferencia ${\mathbb S}^1$. Veamos que son homeomorfos. Evidentemente, el homeomorfismo $f:X\rightarrow Y$ es la deformación del dedo, es decir, $$f(x,0)=\left\{\begin{array}{cc}(x,0) & x\not\in [-1,1]\\ (x,-\sqrt{1-x^2}) & x\in [-1,1]\end{array}\right.$$ Es evidente que $f$ es un homeomorfismo (dejo los detalles). La clave es que si llamamos $A$ y $B$ a cada uno de los dos conjuntos de $Y$, entonces $A\subset X$. Y $B$ es el grafo de la función $-\sqrt{1-x^2}$ definida en $[-1,1]$, y este intervalo es homeomorfo a $X-A$.

Bolas en espacios euclídeos (de nuevo)

Ya se ha comentado varias veces la 'diferencia' entre las bolas de ${\mathbb R}^n$  y las bolas en otros espacios métricos. Aquí, y a cuento de los homeomorfismos, ponemos otro ejemplo más.

Una bola de ${\mathbb R}^n$ es homeomorfa a ${\mathbb R}^n$. Para ello basta 'estirar' la bola lo suficiente hasta rellenar todo el espacio. Por ejemplo, si consideramos la bola  $B_1(O)$ centrada en el origen y de radio $1$, entonces cada segmento que sale desde el origen hasta tocar el borde de la bola lo estiramos hasta convertirlo en la semirrecta que sale del origen y con la misma dirección. El homeomorfismo explícito ya salido varias veces y no vamos ahora a repetirlo, pero sí indicar que para poder 'estirar' necesitamos 'atravesar' todo el espacio, o dicho de otro modo, es clave la estructura afín que tiene ${\mathbb R}^n$.

Porque si vamos a otro espacio métrico, esto no es tan claro. Y vamos a considerar como espacio métrico, subconjuntos de ${\mathbb R}^n$ con la distancia euclídea. Así por ejemplo,

1. Si consideramos ${\mathbb Z}^n\subset {\mathbb R}^n$ y tomamos $p=0$ y $r=1$, la bola $B_1(0)=\{0\}$, que no es homeomorfa a ${\mathbb Z}^n$ (no es biyectiva).
2. Si consideramos $X=[0,1]\cup \{3\}$ y la bola $B_2(0)$, tampoco es homeomorfa a $X$ (ni tampoco a ${\mathbb R}^n$)
3. En el mismo ejemplo anterior, la bola $B_1(0)$ tampoco es homeomorfa a $X$, ni a $B_2(0)$ ni a ${\mathbb R}^n$.

Sobre la entrada de ayer

En la entrada anterior dije que era posible establecer un homeomorfismo de $(0,1)$ en sí mismo que me llevara $x_0\in (0,1)$ en $1/2$. Me quedé un poco parado ayer pensando si era cierto o no, pero sí es posible hacerlo. Si imaginamos el intervalo $(0,1)$ como un trozo de goma, o de plastilina, es claro que uno podría 'estirar' más de un lado que de otro hasta llevar $x_0$ en $1/2$ (o donde uno quiera).

Concretamente, el ejercicio es: sean $x,y\in(0,1)$. Entonces existe un homeomorfismo $f:(0,1)\rightarrow (0,1)$ tal que $f(x)=y$. Para ello, se considera los intervalos $(0,x]$ y $(0,y]$. Se sabe de clase que son homeomorfos y además, es posible tomar el homeomorfismo $g:(0,x)\rightarrow (0,y)$ tal que $g(x)=y$: basta con tomar $g(t)=yt/x$. Del mismo modo, sea $h:[x,1)\rightarrow [y,1)$ otro homeomorfismo con $h(x)=y$.

El homeomorfismo $f$ que se busca se define a trozos como: $f(t)=g(t)$ si $t\in (0,x]$ y $f(t)=h(t)$ si $t\in [x,1)$. Obsérvese que los conjuntos $(0,x]$ y $[x,1)$ son ambos conjuntos cerrados en $(0,1)$; también que $f$ está bien definida en $t=x$ ya que $g(x)=h(x)=y$; y por supuesto, que $f(x)=y$.

Probar que no son homeomorfos

Ya hemos insistido que para probar que no dos espacios topológicos no son homeomorfos, hay que encontrar invariantes topológicos que satisfaga un espacio y no el otro. Pero uno podría pensar que otra forma sería probar directamente que no existen homeomorfismos entre un espacio y otro.

Me he planteado, en un caso sencillo, esta cuestión y no veo que sea fácil hacerlo sin echar de mano del concepto de invariante topológico. Por ejemplo, cojamos $X=[0,1)$ e $Y=(0,1)$. La idea es, por reducción al absurdo, suponer que existe un homeomorfismo $f:X\rightarrow Y$ y llegar a una contradicción. Sabemos que el invariante topológico que se usa aquí para probar que no son homeomorfos es la conexión, pero ¿se podría llegar a una contradicción trabajando directamente con $f$? Es claro a raíz del argumento con conexión, que uno tiene que focalizar el trabajo entre $x=0$ y su imagen mediante $f$.

Sea $x_0=f(0)$, el cual sabemos que satisface $01/2$y$g(y_n)\rightarrow 0$. Si supiéramos que$g$ es creciente, entonces llegaríamos a una contradicción.

Y aquí me quedo...

Homeomorfismo de un espacio en un subconjunto

Sabemos que ${\mathbb R}$ es homeomorfo al intervalo $(0,1)$, que es un subconjunto suyo. Esta propiedad no es única de la recta euclídea, y podemos ver otros espacios topológicos con dicha propiedad.

En ${\mathbb R}$ consideramos la topología discreta y sea $X$ el conjunto de los irracionales también con la topología discreta. Ya que ${\mathbb R}$ y $X$ son biyectivos, la misma biyección es un homeomorfismo.

En ${\mathbb N}$ tomamos la topología de los complementos finitos y sea $X$ el conjunto de los números pares con la topología relativa, que es de nuevo, la topología de los complementos finitos. Entonces cualquier biyección entre ${\mathbb N}$ y $X$ es un homeomorfismo.

Consideramos ${\mathbb Z}$ con la topología trivial, y ${\mathbb N}$ con la topología relativa, que también es la topología trivial. Entonces cualquier aplicación biyectiva entre ${\mathbb Z}$ y ${\mathbb N}$ es un homeomorfismo.

Sea ${\mathbb R}$ con la topología de los complementos finitos y sea $X=(0,\infty)$ con la topología relativa. Entonces la aplicación $f(x)=e^x$ es un homeomorfismo entre ${\mathbb R}$ y $(0,\infty)$ ya que es una aplicación creciente.

Homeomorfismo entre intervalos

Cuando se ha establecido en clase un homeomorfismo entre un intervalo $(a,b)$ y $(c,d)$ se ha hecho usando homotecias y traslaciones, es decir, usando una aplicación del tipo $f(x)=mx+n$. Si pensamos que estamos 'estirando' el intervalo $(a,b)$ para convertirlo en $(c,d)$, el estiramiento se hace de forma proporcional. Sin embargo no es la única forma de hacerlo en el sentido de que podemos ir estirando más de un lado que por otro. Por ejemplo, consideramos la aplicación $f(x)=x^3$. Entonces $f$ es un homeomorfismo entre ${\mathbb R}$ y ${\mathbb R}$. Si tomamos el intervalo $(-1,1)$, la imagen mediante $f$ es $(-1,1)$. Estamos estirando el intervalo $(-1,1)$ en sí mismo ¡y no es la identidad!

Otro ejemplo es considerar $f(x)=x^2$. Esta aplicación no es un homeomorfismo de ${\mathbb R}$ en ${\mathbb R}$, pero sí de $[0,\infty)$ en $[0,\infty)$. Mediante esta aplicación, el intervalo $[0,3]$ se lleva en $[0,9]$. Puede uno comparar este homeomorfismo con $g(x)=3x$, que también lleva $[0,3]$ en $[0,9]$.

Finalmente, y como se dijo en clase, uno también podría considerar la aplicación $f(x)=\sin(x)$, que es un homeomorfimos entre $(-\pi/2,\pi/2)$ en $(-1,1)$.

Convergencia de sucesiones en la topología del punto incluido

Ya sabemos que en el estudio de la convergencia de sucesiones, si el espacio topológico no es métrico, pueden suceder cosas raras. Recuerdo que aquí vimos que en la topología a derechas, la sucesión $\{n\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge a $x=0$!

Otro ejemplo es la topología del punto incluido. Aunque lo que viene a continuación se puede hacer en un conjunto arbitrario, vamos a concreta en considerar $X=\mathbb{R}$ con la topología del punto incluido para $p=1$. Sabemos que la sucesión constante $\{1\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge a $x=1$, pero también converge a ¡cualquier número real!

Efectivamente, dado $y\in\mathbb{R}$, una base de entornos es $\beta_y=\{V:=\{y,1\}\}$. Por tanto, toda! la sucesión se encuentra contenida en $V$. En particular, la topología del punto incluido no es metrizable (en un espacio métrico, las sucesiones convergentes sólo tienen un límite).

Otro ejemplo de sucesión convergente es la sucesión oscilante: $1,-1,1,-1,1,\ldots$. Esta sucesión NO converge a $x=1$, pero SÍ a $x=-1$.

Otra bola no redonda

Continuando con la entrada anterior, pongo otro ejemplo de bola 'no redonda'. Consideramos el siguiente subconjunto $X$ de $\mathbb{R}^2$: $$\begin{eqnarray*} & & \{(0,0)\}\cup ([1,\infty)\times\{0\})\cup ((-\infty,-1]\times\{0\})\\ & & \cup (\{0\}\times (-\infty,-1])\cup (\{0\}\times [1,\infty)). \end{eqnarray*}$$ En $X$ tomamos la distancia usual $d$ de $\mathbb{R}^2$ y el espacio métrico es $(X,d)$.

La bola que cogemos es $B_1((0,0))$. Esta bola está formada sólo por el punto $(0,0)$ y su frontera es el conjunto vacío. Sin embargo el conjunto $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;d((x,y),(0,0))=1\}$ es $\{(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\}$.

Finalmente la adherencia de la bola coincide con su interior.

Las bolas que no son 'redondas'

Ya he comentado varias veces en este blog sobre esa idea que tenemos en la cabeza de que una bola en un espacio métrico es 'redonda' porque es lo que sucede con una bola de $\mathbb{R}^2$. Consideramos $(X,d)$ un espacio métrico y $B_r(p)$ la bola de radio $r$ y centrada en $p$. Por ser abierto, es cierto que $int(B_r(p))=B_r(p)$.

La confusión que a veces ocurre es cuando queremos relacionar su frontera y su exterior con los conjuntos $F=\{x\in X:d(x,p)=r\}$ y $E=\{x\in X;d(x,p) > r\}$, respectivamente.   Hoy en clase ha salido el siguiente ejemplo que os dejo para que reflexionéis.

Consideramos $X=[0,1]\cup \{2\}$ con la distancia usual, es decir, $d(x,y)=|x-y|$. Hallar la frontera, exterior y los conjuntos $F$ y $E$ de la bola $B_1(2)$.

¿Otro teorema del tipo Complemento-Clausura de Kuratowski?

Continuando con la entrada anterior, podríamos hacer algo parecido con el interior y la adherencia.   Dado un conjunto $A\subset X$ de un espacio topológico $(X,\tau)$, denoto $i(A)=int(A)$ y  $a(A)=\overline{A}$. De nuevo escribiremos $iaa(A)$ al conjunto $int(\overline{\overline{A}})$.

Hacemos ahora todas las combinaciones con $i$ y $a$, es decir, conjuntos de la forma $iaiiaaia(A)$. ¿Cuántos conjuntos diferentes podemos obtener?

De nuevo, tenemos dos restricciones: $ii=i$ y $aa=a$. Recordar que en el teorema de Kuratowski había una tercera más. Por tanto, en todas las expresiones posibles no podemos poner dos letras $i$ seguidas ni dos $a$ juntas. Por tanto, serán expresiones de la forma $iaiaiai$, $iaiaiaiaia$ o $aiaia$.

Por ejemplo, en $\mathbb{R}$ con la topología usual, tomamos $A=[0,1)$. Si empezamos por $i$ obtenemos $\{A,(0,1),[0,1]\}$. Si empezamos con $a$, tenemos $\{A,[0,1],(0,1)\}$. En este caso tenemos 3 conjuntos.

Tomo otro: $A=[0,1)\cup(1,2]$. Empezando por $i$, tenemos $\{A,(0,1)\cup (1,2),[0,2],(0,2)\}$, es decir, 4 conjuntos.

¿Podéis resolver el problema?

El teorema complemento-clausura de Kuratowski

Como ya hemos visto en las últimas entradas, Kuratowski introdujo el concepto de espacio topológico a través de una aplicación $f:P(X)\rightarrow P(X)$ con unas propiedades de forma que los conjuntos cerrados eran, por definición, aquéllos $A\subset X$ tales que $f(A)=A$. Justamente las propiedades de la aplicación $f$ son las de la adherencia que ya conocemos en un espacio topológico.

Kuratowski planteó el siguiente problema. Sea $A$ un subconjunto de un espacio topológico $(X,\tau)$ ¿cuántos conjuntos diferentes pueden obtenerse de $A$ cuando tomo adherencias y complementarios en el orden y veces que uno quiera?

Para que nos aclaremos con el problema, introducimos la siguiente notación de las dos operaciones. Dado un conjunto $A\subset X$, denoto $a(A)=\overline{A}$ y $b(A)=X-A$. Cuando escriba, por ejemplo, $aab(A)$, esto quiere decir que primero hacemos $b$, luego $a$ y finalmente $a$, es decir, el orden de las operaciones viene dado por la 'cercanía' al símbolo $A$. Así,
$$aab(A)=X-(X-\overline{A}),\ baba(A)=X-\overline{X-\overline{A}}.$$
¡Esto es un juego! El problema en cuestión también aparece en el libro de  Munkres, 'Topology I' y en el de Kelley 'General Topology', Van Nostrand. página 57 (podéis visualizar esta página en internet si buscáis este libro).

Pero sabemos algunas propiedades de las operaciones $a$ y $b$. Así, $aa(A)=A$ y $bb(A)=A$. El resultado que probó Kuratowski es el siguiente:

Teorema. Como mucho hay 14 conjuntos diferentes. Adémás, existen conjuntos donde se alcanza la igualdad. 

Las operaciones concretas son la siguientes: $$\{id,a,b,ab,ba,aba,bab,abab,baba,ababa, babab,ababab,bababa,bababab\}$$ Un ejemplo de un conjunto donde se tienen exactamente los 14 conjuntos es $$A=(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup ([4,5]\cap\mathbb{Q})$$ en la recta euclídea $\mathbb{R}$.

Podéis ver demostraciones en:
http://www.math.cornell.edu/~riley/Teaching/Topology2009/essays/Strabel.pdf
http://abhishekparab.files.wordpress.com/2010/10/kuratowski_closure_complement_problem.pdf

Una nota histórica

Por las dos entradas previas, y buscando en internet, he caido en el libro "Introducción a la Topología" de Margalef y Outerelo, donde en la página 230 viene una "Nota histórica" que me parece muy interesante y que recoge quiénes fueron los primeros en hablar de 'espacios topológicos', 'abierto", "interior", etc. Transcribo íntegramente dicha nota.

"La definición de espacio topológico, como se entiende actualmente, fue dada por K. Kuratowski en 1922 en el artículo "Sur l'operation $\overline{A}$ de l'Analysis Situs", publicado en la revista Fundamenta Mathematica V.3, 182-199. Para ello utilizó el operador de adherencia.

Las nociones de conjunto abierto, conjunto cerrado, adherencia e interior fueron introducidas por G. Cantor, en una serie de artículo publicados entre 1879 y 1884, en la clase de subconjuntos de los espacios euclídeos. Estos conceptos fueron generalizados por F. Hausdorff en 1914 a espacios topológicos abstractos.

Las nociones de frontera de un conjunto, conjunto derivado y conjunto denso fueron introducidas por G. Cantor. Los espacios separables fueron definidos por M. Frechet en 1906. Los espacios topológicos $T_1$ fueron introducidos por Riesz en 1907."

He intentado buscar en MathScinet dichos artículos, pero son muy antiguos y no logro tenerlos.Sí he visto el artículo en http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3121.pdf. Podéis comparar con las propiedades de la aplicación $f$ de la entrada anterior. También que aparecen propiedades de la adherencia de conjuntos. ¡Fijaros que no usa la notación $A\cup B$ sino $A+B$, $A\times B$ por $A\cap B$, el complementario de $A$ por $A^1$ y que $X$ lo denota por $1$! En la página 5 aparece 'conjunto cerrado' (...est dit fermé...) y en la siguiente, 'frontera' (=bord) e interior (=l'interieur). Concretamente en dicha página aparece la propiedad $\overline{X-A}=X-int(A)$ escrita diciendo que el interior de $A$ es $A^{1-1}$. Finalmente, en la página 7 aparece la palabra 'abierto', dicienco que un dominio es abierto (domain ouvert) si $A=A^{1-1}$.

Por otro lado, en la página web "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics", no he visto de forma clara esas asignaciones: por ejemplo, leer la entrada correspondiente a "topological space".

Recordando a Kuratowski (II)

De la misma forma que en la entrada anterior, podemos trabajar con adherencias y cerrados.

TEOREMA. Sea $X$ y $f:P(X)\rightarrow P(X)$ una aplicación en el conjunto de todos los subconjuntos de $X$ que satisface las siguientes propiedades:

1. $f(\emptyset)=\emptyset$,
2. $A\subset f(A), \forall A\subset X$,
3. $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$, $\forall A, B\subset X$,
4. $f(f(A))=f(A), \forall A\subset X$.

Entonces existe una única topología $\tau$ en $X$ con la propiedad de que $\overline{A}=f(A), \forall A\subset X$.

Concretamente, fue así como Kuratowski introdujo el concepto de espacio topológico.

Tenemos ahora dos formas de probar el teorema. La primera es, de forma análoga a la entrada anterior, definir la familia de cerrados como aquellos conjuntos $A$ tales que $f(A)=A$.

La segunda es pasar por el resultado de la entrada anterior. Como sabemos que en un espacio topológico,
$int(A)=X-\overline{X-A}$, definimos $g: P(X)\rightarrow P(X)$ mediante $$g(A)=X-f(X-A).$$ Quedaría por probar que $g$ satisface las propiedades de la entrada anterior (para ello hay que usar las que tiene $f$). Una vez esto, $int(A)=g(A)$ y por tanto,  usando la definición de $g$, concluimos
$$\overline{A}=X-int(X-A)=X-g(X-A)= X-(X-f(A))=f(A).$$

Rercordando a Kuratowski

A continuación introducimos el concepto de espacio topológico siguiendo ideas de Kuratowski. La idea es tomar las propiedades del interior de un conjunto. Así tenemos el siguiente resultado:

Sea $X$ un conjunto y $f:P(X)\rightarrow P(X)$ una aplicación en el conjunto de todos los subconjuntos de $X$ que satisface las siguientes propiedades:

1. $f(X)=X$,
2. $f(A)\subset A, \forall A\subset X$,
3. $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$, $\forall A, B\subset X$,
4. $f(f(A))=f(A), \forall A\subset X$.

Entonces existe una única topología $\tau$ en $X$ con la propiedad de que $int(A)=f(A), \forall A\subset X$.

Nos damos cuenta que justamente la aplicación $f$ tiene las mismas propiedades que la operación interior en un espacio topológico. Evidentemente, la familia $\tau$ se define como aquellos conjuntos $O\subset X$ que satisfacen $f(O)=O$. Os dejo como ejercicio probar que $\tau$ es, efectivamente, una topología en $X$.

Queda por probar que  $int(A)=f(A)$. Por la propiedad 4) y la definición de $\tau$, $f(A)$ es un conjunto abierto. Además, por la propiedad 2), $f(A)\subset A$. Por tanto, $f(A)\subset int(A)$ ya que $int(A)$ es el conjunto abierto más grande incluido en $A$. Por otro lado, como $int(A)\subset A$, $f(int(A))\subset f(A)$. Como $int(A)$ es un abierto, $f(int(A))=int(A)$, luego $int(A)\subset f(A)$, teniendo ya la otra inclusión.

Diferentes topologías, mismo interior

Sea $X$ un conjunto con diferentes topologías $\tau_1$ y $\tau_2$. Si $A\subset X$ es un subconjunto, su interior puede coincidir en $(X,\tau_1)$ y en $(X,\tau_2)$. Por ejemplo, el interior de $X$ es $X$  en con cualquier topología posible en $X$. Lo mismo pasa con $\emptyset$.

Si queremos irnos a otros subconjuntos $A$, podemos tomar $X=\mathbb{R}$. Sea $A=(0,\infty)$. El interior de este conjunto es $A$ considerando en $\mathbb{R}$:

• la topología discreta,
• la topología usual,
• la topología del punto incluido para $p=1$,
• la topología del conjunto incluido si dicho conjunto es $[1,2]$,
• la topología del punto excluido para $p=0$,
• la topología a derechas,
• la topología de Sorgenfrey,
• la topología que tiene por base $\beta=\{(a,\infty);a\in\mathbb{R}\}$.

Lo que no puede suceder es que el interior de todos los subconjuntos coincidan para dos topologías distintas $\tau_1$ y $\tau_2$, ya que los conjuntos abiertos vienen caracterizados en términos del interior de un conjunto.

A veces las cosas son más sencillas

Con el título de esta entrada me quiero referir a que a veces, para probar que una familia de subconjuntos son abiertos, o son base de entornos, algunas propiedades son más fáciles de probar que como uno podía imaginarse. Algunos ejemplos ya han aparecido en clase. Voy a exponer dos de ellos.

En la prueba de que cierta familia es base de abiertos, la segunda propiedad dice: 'si $B_1$ y $B_2$ son elementos de $\beta$ y $x\in B_1\cap B_2$, entonces existe $B_3\in\beta$ tal que $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$'. A veces sucede que la intersección $B_1\cap B_2$ es ya un elemento de $\beta$, luego podemos tomar $B_3=B_1\cap B_2$. Así ocurre en la topología usual de $\mathbb{R}$. Ésta se definió como aquélla generada por la familia de intervalos abiertos acotados $\beta=\{(a,b);a < b, a,b\in\mathbb{R}\}$. Aquí la intersección de dos intervalos abiertos es YA un intervalo abierto.

El segundo ejemplo que pongo es para base de entornos. La última propiedad que hay que probar es la siguiente: 'Sea $V\in\beta_x$. Entonces existe $_0\in\beta_x$ tal que si $y\in V_0$ entonces existe $V_y\in\beta_y$ tal que $V_y\subset V$'. A veces sucede que basta tomar $V_0=V$. El siguiente ejemplo es muestra de ello. Consideramos $\mathbb{R}$ y para cada $x\in\mathbb{R}$ asociamos $\beta_x=\{(x-\epsilon,x+2\epsilon);\epsilon > 0\}$. Tomamos un $V= (x-\epsilon,x+2\epsilon)$ y cojamos $V_0=V$. Si $y\in V_0$, definimos $V_y$ del siguiente modo. Sea $r > 0$ tal que $x-\epsilon < y-r < y+r < y+2\epsilon$. Sea $\delta=r/2$. Entonces $V_y=(y-\delta,y+2\delta)$ satisface $V_y\subset V$.

Muchos entornos, entornos pequeños

Una vez conocido el concepto de base de entornos, nos podemos dar cuenta que más importante que saber si un entornos es 'grande' o no, más interesantes es poder controlar su número. 

Una vez que se explique el concepto de aplicación continua, se podrá intuir mejor que la idea de entorno se refiere a la 'cercanía' alrededor de un punto. Cuando uno tiene un entorno $U$ de $x$, cualquier conjunto que contenga a $U$ también es entorno de $x$. Por tanto, hay 'muchos' entornos. Otra cosa diferente es si un entorno es grande a cuanto 'tamaño'.

Espero que el siguiente ejemplo aclare estas ideas. Tomamos $\mathbb{R}$ con la topología a derechas. Una base de entornos de $x$ es $\beta_x=\{[x,\infty)\}$, es decir, la base SÓLO tiene un elemento. Sin embargo, $[x,\infty)$ es 'grande' si uno compara con otros conjuntos que contenga a $x$ pero que no son entornos, como sucede por ejemplo con el intervalo $(x-1,x+1)$.

Comparando base de abiertos y base de entornos

Quiero comparar las definiciones de 'base de abiertos' y 'base de entornos'. Recuerdo ambos conceptos. 

•  Una familia $\beta$ es base de abiertos si es una familia de abiertos de forma que todo abierto es entorno de elementos de $\beta$. 
• (*) Por otro lado, una base de entornos de $x$ es una familia $\beta_x$ de entornos de $x$ de forma que dado un entorno $U$ de $x$, existe $V\in\beta_x$ tal que $V\subset U$.

Podemos observar que son diferentes en el sentido en que para base de abiertos, todo abierto se 'construye' a base de elementos de $\beta$ mientras que para base de entornos usamos la inclusión de conjuntos. Sin embargo, recuerdo que ya se caracterizó el concepto de base de abiertos del siguiente modo: una familia de abiertos $\beta$ es base de abiertos si para cada $O\in\tau$ y $x\in O$, existe $B\in\beta$ tal que $x\in  B\subset O$. En este sentido sí se puede ver que sí se parece a la definición de 'base de entornos'.

Lo que quiero indicar es que no podemos 'expresar' el concepto de base de entornos del mismo modo que base de abiertos, es decir, si una familia $\beta_x$ de entornos de $x$ es base de entornos, no todo entorno de $x$ se puede poner como unión de entornos de $\beta_x$.

Consideramos la topología a derechas en $\mathbb{R}$, donde una base de entornos de $x$ es $\beta_x=\{[x,\infty)\}]$. En este case dicha base sólo tiene un elemento, luego las uniones que hagamos de elementos de $\beta$ sólo nos da $[x,\infty)$. Sin embargo, hay muchos más entornos de $x$, por ejemplo, $U=(x-1,\infty)$.

Finalmente, en un sentido sí se tiene lo mismo, concretamente, si $\beta_x$ es una familia de entornos de $x$ de forma que todo entornos es unión de elementos de $\beta_x$, entonces $\beta_x$ sí es base de entornos, ya que si $U=\cup_{i\in I}V_i$, con $V_i\in\beta_x$, entonces $V_i\subset U$ $\forall i\in I$.

Sobre entonos en R^2

Uno de los espacios topológicos del último día fue el siguiente. Sea $X=\mathbb{R}^2$ y $\beta=\{\mathbb{R}\times\{b\};b\in\mathbb{R}\}$.

Muestro cómo son algunos entornos de un punto, por ejemplo, $p=(0,0)$. Un entorno $U$ es un conjunto tal que existe un elemento de la base entre $p$ y $U$, es decir, existe $b\in\mathbb{R}$ tal que $p\in \mathbb{R}\times\{b\}\subset U$. Esto fuerza a que $b=0$. Por tanto $U$ es entorno de $p$ si y sólamente si contiene al eje de abcisas $\mathbb{R}\times\{0\}$.

Así, el disco $\{(x,y);x^2+y^2 < 1\}$ NO es un entorno de $p$, ni tampoco $[-1,1]\times [-1,1]$. Y sí lo son el propio eje de abcisas, o el semiplano $y\geq 0$, o los dos ejes coordenados, esto es, $\{x=0\}\cup\{y=0\}$.

Abiertos y cerrados en la recta de Sorgenfrey

Como veremos en el tema 3, en la recta de Sorgenfrey hay conjuntos que son cerrados y abiertos a la vez. La cuestión que planteo es que 'descubramos' algunos de dichos conjuntos que a la vez sean 'conocidos'. Pongo un ejemplo, como muestra.

El intervalo $[0,1)$ es abierto al ser un elemento de la base. Por otro lado, también es cerrado ya que su complementario es $(-\infty,0)\cup [1,\infty)$, que es abierto: ambos son conjuntos abiertos, y por tanto, su unión también. Exactamente, tenemos (*): $$(-\infty,0)=\cup_{n\in N} [-n,0),  [1,\infty)=\cup_{n\in N}[1,\infty)$$ Pregunta: dar ejemplos de otros tipos de intervalos (si los hubiera) que fueran abiertos y cerrados a la vez.

Otro tipo de conjuntos

1. El conjunto de los números naturales, enteros, racionales e irracionales.
2. Los conjuntos finitos.
3. sucesiones convergentes.

(*) ¡cuidado! un conjunto abierto puede ser unión de dos conjuntos y ninguno de estos ser abierto.

Usando racionales e irracionales

Consideramos $\mathbb{R}$ con la topología usual $\tau$, es decir, aquélla que tiene por base $\beta=\{(a,b); a < b, a,b\in\mathbb{R}\}$. Voy a probar que $\beta_1=\{(a,b); a < b, a,b\in\mathbb{Q}\}$ es base de $\tau$. Por un lado, es evidente que $\beta_1\subset\beta\subset\tau$. Por otro, dado $O\in\tau$ y $x\in O$, sean $a,b\in\mathbb{R}$ tales que $x\in (a,b)$. En particular, $a < x < b$. Por la propiedad de los números racionales, existen racionales $p,q$ tales que $a < p < x$ y $x < q < b$. En particular,
$$x\in (p,q)\subset (a,b)\subset O.$$ De la misma forma, y llamando  $\mathbb{I}$ el conjunto de los irracionales, se puede probar que  $\{(a,b); a < b, a,b\in\mathbb{I}\}$,  $\{(a,b); a < b, a\in\mathbb{Q},b\in\mathbb{I}\}$ y $\{(a,b); a < b, a\in\mathbb{I}, b\in\mathbb{Q}\}$ son también bases de $\tau$.

La cuestión que planteo es estudiar bases parecidas en las otras topologías que hemos introducido en $\mathbb{R}$. Por ejemplo, sea $\tau_S$ la topología de Sorgenfrey. ¿Es $\beta_1$ base de $\tau_S$?

De la misma forma, si $\tau_d$ es la topología a derechas, ¿es $\{[a,\infty);a\in\mathbb{Q}\}$ base de dicha topología?

El primero de la clase

Empezamos el curso con el primer ejemplo de espacio topológico (apareció en el examen de septiembre). Tomamos $X=\mathbb{R}$ y $\tau=\{\emptyset,X\}\cup\{[0,a);a\in\mathbb{R}^+\cup\infty\}$. Varias observaciones a tener en cuenta:

• Dos abiertos siempre se intersecan.
• Si $x < 0$, una base de entornos de $x$ es $\beta_x=\{\{\mathbb{R}\}\}$.
• Por tanto, si $A\subset\mathbb{R}$, $(-\infty,0)\subset\overline{A}$.

Os dejo como ejercicio que encontréis bases de abiertos con un número 'pequeño' de abiertos.

Un ejercicio sobre homeomorfismos

Os dejo aquí un pequeño ejercicio sobre homeomorfismo. Probar que el $X=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=1\}$ no es homeomorfo al cono $Y=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z\geq 0\}$.

Y probar que el interior del cilindro, $A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2<1\}$ sí es homeomorfo al interior del cono $B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2 < z^2, z\geq 0\}$.

Tres aclaraciones

He recibido numerosos correos electrónicos acerca de que los enlaces a los apuntes que había escrito, y que se pueden descargar en la parte de la derecha del blog no funciona. Esto es así ya que alrededor de hace un mes, piratas informáticos entraron en todas mis cuentas, y tuve que eliminar todos los ficheros. Ya que todo ese trabajo se había hecho poco a poco, me resulta ahora muy difícil, no sólo encontrar los ficheros pdf, sino decidir si habría que mejorarlos o no. Así que por ahora, dejaré esa tarea hasta al menos que acabe este semestre. Al comenzar el nuevo curso, me pondré mano a la obra. Por otro lado, el blog sigue recibiendo comentarios de personas que firman como 'Anónimo'. Ya expresé hace mucho tiempo que no tiene sentido hacer un comentario conservando el anonimato. Un anonimato detrás de un comentario hace que éste no tenga seriedad ni sentido de ser. Así que os recomiendo que firméis con vuestro nombre tanto los comentarios como las opiniones. Aunque esto es difícil que aparezca regularmente en el blog, cualquier persona puede publicar un texto. Sólo tiene que enviármelo y yo subirlo al blog. ¿Sobre qué y de qué forma? Sólo basta leer los comentarios que se han publicado para darse cuenta de qué cosas se tratan en el blog.

Conexión en la esfera

Se va a probar que la esfera $\mathbb{S}^n$ menos un conjunto $A$ numerable de puntos es conexa: en verdad se demostrará que es arcoconexa.

Antes de la prueba, comentar que la demostración se puede hacer si sabemos ya que $\mathbb{R}^n-B$ es arcoconexo donde $B$ es un conjunto numerable de puntos. En tal caso, se usaría que $\mathbb{S}^n-\{p\}\cong \mathbb{R}^n$. Para aquellas personas que conozcan ese resultado sobre $\mathbb{R}^n-B$, recomiendo que hagan la demostración.

Probamos que $\mathbb{S}^n-A$ es conexo probando que dados dos puntos del conjunto existe un conjunto conexo de $\mathbb{S}^n-A$ que los contiene. Concretamente, ese conjunto va a ser un círculo máximo que pasa por ambos. Un círculo máximo es la intersección de un hiperplano vectorial de $\mathbb{R}^{n+1}$ con $\mathbb{S}^n$ (si alguien se ha perdido aquí, que considere $n=2$). Un círculo máximo es arcoconexo pues es homeomorfo a $\mathbb{S}^{n-1}$.

Tomamos dos puntos antípodas de $\mathbb{S}^n$ que no pertenecen a $A$: esto es posible, pues en caso contrario $\mathbb{S}^n\subset A$. Después de un movimiento rígido (que no cambia el problema), podemos suponer que ambos son el polo norte $N=(0,\ldots,1)$ y el polo sur $S=(0,\ldots,-1)$.

Consideramos el conjunto $D$ de círculos máximos que resultan de intersecar $\mathbb{S}^n$ con todos los hiperplanos que contienen al eje $x_{n+1}$. El conjunto $D$ es infinito no numerable ya que es biyectivo con el conjunto de rotaciones respecto del eje $x_{n+1}$. Además todos ellos se intersecan sólamente en dos puntos, a saber, $N$ y $S$.

Sean $p,q\in \mathbb{S}^n-A$. Afirmamos que existe $C\in D$ tal que $C\subset \mathbb{S}^n-A$ y $p,q\in C$. Si no fuera así, es porque cada círculo $C\in D$ interseca a $A$. Tomamos $a_C\in C\cap A$ un punto de la intersección (usamos para ello el axioma de elección). Entonces la aplicación $f:D\rightarrow A$ dada por $f(C)=a_C$ es inyectiva, ya que si se tienen dos círculos diferentes $C_1$ y $C_2$, los únicos puntos de intersección de ambos son $N$ y $S$, que no son $f(C_1)$ y $f(C_2)$. Finalmente, si $f$ es inyectiva, esto diría que $A$ es no numerable, llegando a una contradicción.

Sobre homeomorfismos entre parejas de circunferencias

¿Dos anillos entrelazados son homemorfos a dos anillos no entrelazados?

Éste es el ejercicio que os dejo. Sea $X=A\cup B$, donde $A=\{(x,y,0);x^2+y^2=1\}$ y $B=\{(0,y,z);(y-1)^2+z^1\}$. El conjunto $A$ es un círculo de radio 1 en el plano $z=0$ y $B$ es otro del mismo radio pero en el plano $x=0$ y centro $(0,1,0)$.

Sea $Y=A\cup C$, donde $C=\{(x,y,0);(x-3)^2+y^2=1\}$, que es un círculo de radio 1 y centro $(3,0,0)$.

Fijaros que los círculos $A$ y $B$ están entrelazados, no así $A$ y $C$.

¿Existe un homeomorfismo entre $X$ e $Y$? Si es así, decir cómo se construye. Si es que no, razonar porqué.

Sobre las curvas de Jordan

Esta entrada viene motivada por la demostración que estoy haciendo en otra asignatura de la licenciatura del teorema de la curva de Jordan (en su versión diferenciable). Un conjunto $C$ se dice que es una curva de Jordan si es homeomorfo al círculo $\mathbb{S}^1$. De este teorema ya se comentó en este blog, por ejemplo, aquí.

Pero para no liarnos mucho ahora, y para aquellas personas que están iniciándose en topología general, en esta entrada propongo un ejercicio de topologías cocientes.

Doy la siguiente definición. Una aplicación continua $\alpha:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n$ se dice que es una curva cerrada y simple si existe $A>0$ con dos propiedades:

1. $\alpha(t+A)=\alpha(t)$ para cada $t\in \mathbb{R}$.
2. La aplicación $\alpha$ es inyectiva en $[0,A)$.

Al número $A$ se le llama el periodo de $\alpha$. Dejo algunas observaciones fáciles de probar:

1. Para cada $n\in \mathbb{Z}$ se tiene que $\alpha(t+nA)=\alpha(t)$ para todo $t\in \mathbb{R}$.
2. Si $T$ es un número tal que $\alpha(t+T)=\alpha(t)$ para todo $t\in \mathbb{R}$, entonces $T$ es de la forma $T=nA$, donde $n\in \mathbb{Z}$.

Nos podemos imaginar las curvas cerradas simples como curvas cerradas que no se autointersecan. Por ejemplo las elipses $\alpha(t)=(a\cos(t),b\sin(t))$, con $a,b>0$. En particular, las circunferencias.

El ejercicio es probar que $\alpha(\mathbb{R})\cong \mathbb{S}^1$, o dicho con palabras, la traza de una curva cerrada simple es una curva de Jordan.

Topología en un espacio vectorial

Como ya os habréis dado cuenta, desde hace más de un mes, no ha habido más entradas en el blog porque las clases de la asignatura acabaron a finales de enero. Como ya he escrito varias veces, este blog es un blog de la asignatura y con la finalización del curso también 'finaliza' el blog hasta el curso próximo (alrededores de finales de septiembre de 2012).

De todas formas, intentaré ir publicando de vez en cuando.

También hago una invitación a que cualquier persona que quiera publicar algo (siguiendo el espíritu del blog), no tiene nada más que enviarme el texto y yo lo escribo directamente en el blog. Y por supuesto, haré referencias a quién es el autor de la entrada.

En esta entrada voy a proponeros un ejercicio muy interesante que me dijo hace unos días el profesor Alfonso Romero.

Consideramos un espacio vectorial real $V$ de dimensión $n$, y sea $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ una base del mismo. Se considera el isomorfismo de espacios vectoriales $f:\mathbb{R}^n\rightarrow V$ dado por
$$f(x_1,\ldots,x_n)=x_1 e_1+\ldots+x_n e_n.$$
Justamente la inversa de $f$ es la aplicación que me lleva todo vector de $V$ en sus coordenadas respecto de la base $B$.

Consideramos en $\mathbb{R}^n$ la topología usual $\tau_u$ y en $V$ consideramos la única topología $\tau_B$ que hace que $f_B:(\mathbb{R}^n,\tau_u)\rightarrow (V,\tau_B)$ sea un homeomorfismo.

Nos preguntamos qué pasa si en vez de tomar la base $B$ tomamos otra. Así, si $B'$ es otra base de $V$, tendríamos otro isomorfismo $f_{B'}$ de espacios vectoriales entre $\mathbb{R}^n$ y $V$ y otra topología $\tau_{B'}$ en $V$.

El ejercicio consiste en probar que $\tau_B=\tau_{B'}$.

Intersección de conjuntos compactos

Ayer hicimos en clase el ejercicio que afirma que en un espacio Hausdorff, la intersección de dos subconjuntos compactos es también compacto. Si el espacio no es Hausdorff, el resultado no es cierto. Quiero dejar en esta entrada el ejemplo que pensamos.

Consideramos en $\mathbb{R}$ la topología a derechas $\tau$, es decir, aquélla que tiene por base $\beta=\{[a,\infty);a\in\mathbb{R}\}$. El espacio $(\mathbb{R},\tau)$ no es Hausdorff. Consideramos $A=\{-1\}\cup (0,1)$ y $B=\{-2\}\cup (0,1)$. El conjunto A es compacto, pues si $\{[a_i,\infty);i\in I\}$ es un recubrimiento de $A$, alguno de estos abiertos debe contener al punto $x=-1$. Si $[a_{i_0},\infty)$ es dicho abierto, entonces $A\subset [a_{i_0},\infty)$. Del mismo modo, $B$ es compacto.

La intersección $A\cap B$ es $(0,1)$, pero este conjunto no es compacto ya que $\{[1/n,\infty);i\in \mathbb{N}\}$ es un recubrimiento por abiertos y no hay un subrecubrimiento finito: la unión de un subrecubrimiento finito de $\{[1/n,\infty);i\in \mathbb{N}\}$ es un conjunto de la forma $[1/m,\infty)$, que no contiene a $(0,1)$.