Topología del orden lexicográfico

En la entrada del 8 de diciembre, "homeomorfismos con topologías conocidas II" hubo un comentario de Pedro Jesús en la que afirmaba que la topología producto $(R\times R,T_d \times T_u)$, donde $T_d$ y $T_u$ son las topologías discretas y usual, respectivamente, era la topología del orden lexicográfico.

Precisamos más. El orden lexicográfico es un orden que se define en el producto cartesiano de dos conjuntos ordenados. Estamos, pues, en un concepto de teoría de conjuntos, no de topología. La definición es la siguiente: sean $X$ e $Y$ dos conjuntos ordenados, cuya relación de orden se denotará (en ambos) por $\leq$. En $X\times Y$ se define el orden lexicográfico, que también denotaremos por $\leq$, como $(x,y)\leq (x^{\prime},y^{\prime})$ si $x < x^{\prime}$ o $x=x^{\prime}, y\leq y^{\prime}$. Aquí $x < x^{\prime}$ significa $x\leq x^{\prime}, x\not=x^{\prime}$. Por cierto ¿porqué se llama "lexicográfico"?

En todo conjunto ordenado se puede definir una topología llamada la "topología del orden". La topología del orden lexicográfico no es más que dicha topología en $X \times Y$ y con el orden lexicográfico.

Se considera un conjunto X con un orden $\leq$. Si $a,b\in X$, se define $(a,b)=\{x\in X; a < x < b$, $[a,b)=\{x\in X;a\leq x < b\}$ y de forma análoga $(a,b]$.

La topología T del orden es la que tiene por base $$\beta=\{(a,b),[m,b),(a,M];a,b\in X\}.$$ Aquí m y M denotan (si existieran) un mínimo y un máximo de $X$, es decir, por ejemplo, $m\leq x$ para cada $x\in X$.

Por ejemplo, si consideramos $X=R$, conjuntos de los números reales, y el orden usual, entonces (como no existen m ni M) $\beta$ coincide con la base usual de la topología usual.

Acabamos esta entrada proponiendo como ejercicio el probar que la topología del orden lexicográfico en R^2 coincide con la topología producto de la usual por la discreta, justificando de esta forma, la frase inicial de Pedro Jesús.

Topologías homeomorfas a la usual

Planteo el siguiente problema que ha surgido en clase. Sea $f:(\mathbb{R},\tau_u)\rightarrow (\mathbb{R},\tau)$ un homeomorfismo, donde $\tau_u$ es la topología usual ¿entonces $\tau$ es la topología usual? Es decir, ¿la única topología homeomorfa a la topología usual es ella misma?

La respuesta es no.

Un ejemplo es el siguiente. Sea f cualquier biyección de $R$ en $R$ y sea $\tau$ la topología $f(\tau_u)$. Entonces es evidente que $f:(\mathbb{R},\tau_u)\rightarrow (\mathbb{R},\tau)$ es un homeomorfismo, y $\tau$ no tiene porqué ser $\tau_u$. Como ejemplo explícito de ello es la aplicación $f(x)=x$ si $x$ no es ni $0$ ni $2$, y f(0)=2 y f(2)=0. Entonces $(-1,1)\in\tau_u$ luego $f(-1,1)\in\tau$ es decir $((-1,1)-\{0\})\cup\{2\}$. Pero este conjunto no es un elemento de $\tau_u$.

Otro ejemplo análogo, pero cambiando el conjunto de los números reales es $X=\{a,b\}$. Consideramos $\tau=\{\emptyset,X,\{a\}\}$ y $\tau'=\{\emptyset,X,\{b\}\}$. Entonces la aplicación $f:(X,\tau)\rightarrow (X,\tau')$ dada por $f(a)=b$ y $f(b)=a$ es un homeomorfismo, pero $\tau'\not=\tau$.

Topología producto: palabras que suenan bien III

Sigo con la misma idea de la entrada de ayer. Cambiamos ahora la topología de Sorgenfrey por la topología a derechas T_d, es decir, la generada por la base \beta=\{[x,\infty);x\in\mathbb{R}\}. De nuevo nos podríamos preguntarnos para qué valores de m, los conjuntos A_m son homeomorfos a (R,T_d). Se sabe que las rectas y=0, x=0 e y=x sí son homeomorfos a (R,T_d).

Para que las cosas sean algo más complicadas, consideramos el producto (R^2,T_SxT_d). Se sabe que la recta y=0 es homeomorfa a la recta de Sorgenfrey, y que la recta x=0 a la topología a derechas. Pero no tenemos ahora el resultado inmediato para la diagonal, es decir, la recta y=x.

La pregunta que dejo es ¿A_m es homeomorfo a algún espacio conocido? Por ejemplo, creo que para m=-1, tenemos que A_m tiene la topología discreta.

Topología producto: palabras que suenan bien II

"Continuando" con la entrada del 10 de diciembre del año pasado, nos preguntamos por cómo las palabras sonarían bien con la topología producto. Esta entrada es para insistir en un comentario que se hizo en clase sobre la topología de Sorgenfrey y topología producto.

No tiene sentido preguntarse si el producto de la topología de Sorgenfrey por sí misma es de nuevo la topología de Sorgenfrey. La topología de Sorgenfrey T_S es una topología definida en el conjunto de los números reales R. Si se hace el producto topológico, se tendría la topología producto T_S x T_S en R^2, y no nos podemos preguntar si T_S x T_S es la "topología de Sorgenfrey" en R^2.

Pero sí podemos tomar subconjuntos de R^2 "parecidos" a conjuntos de números reales, tales como rectas y preguntarnos si la topología inducida es homeomorfa a la recta de Sorgenfrey.

Ya se comentó en clase que la recta y=-x hereda la topología discreta, luego NO es homeomorfa a la recta de Sorgenfrey. Consideramos ahora la recta y=0, es decir, A=\{(x,0);x\in \mathbb{R}\}. Entonces A, con la topología inducida es homeomorfa a la recta de Sorgenfrey, ya que en un espacio producto X\times \{q\} \cong X.

Consideramos el conjunto B dado por la recta y=x. De nuevo, B es homeomorfo a la recta de Sorgenfrey ya que B es la diagonal de (RxR,T_S,T_S) y se sabe que la diagonal es homeomorfa a cada uno de los factores.

Finalmente, podemos considerar los conjuntos A_m=\{(x,mx);x\in\mathbb{R}\}, es decir, las rectas y=mx, y preguntarnos para qué valores de m, el conjunto A_m es homeomorfo a la recta de Sorgenfrey: sabemos que para m=-1 no, y para m=0,1, sí.

Homeomorfismos con topologías conocidas II

Volviendo a las topologías "con nombre", nos podemos preguntar si alguna topología con nombre coincide con otra. Me refiero a lo siguiente. Por ejemplo, consideramos R con la topología usual, y N el conjunto de los números naturales con la topología inducida de la usual. Entonces dicha topología es la topología discreta (¡una topología con nombre!).

¿Sería posible buscar más ejemplos? Otro caso es el siguiente. Sea R con la topología a derechas, es decir, la que está generada por los intervalos de la forma [a,\infty). Si tomamos de nuevo N con la topología inducida, entonces la topología inducida es la generada por los conjuntos de la forma B_n=\{n,n+1,\ldots,\},, es decir, ¡otra topología con nombre!

Otro ejemplo final. Sea R con la topología de Sorgenfrey, y N el conjunto de los números naturales, con la topología inducida. Si tomamos abiertos de la forma [x,x+1) y lo intersecamos con N, resulta que cada conjunto de la forma \{n\} es un abierto. Luego la topología inducida es la discreta ¡otra con nombre!

Os animo a que busquéis más ejemplos.

Homeomorfismos con topologías conocidas

Esta entrada viene motivada porque se ha definido diferentes topologías ("con nombre") en un mismo conjunto, y parece natural pensar que entonces no son homeomorfas. Por ejemplo, en el conjunto de los números naturales tenemos la topología T1 formada por los conjuntos A_n=\{1,2,\ldots,n\} y la topología T2 de los conjuntos B_n=\{n,n+1,\ldots\}. Entonces (N,T1) no es homeomorfos a (N,T2) ya que si hubiera algún homeomorfismo, llevaría abiertos en abiertos, pero los abiertos en T1 son conjuntos finitos y en T2 no.

La pregunta que hago es al revés: dado un conjunto X con dos topologías diferentes, ¿pueden ser homeomorfos ambos espacios? Cuando en clase hemos hecho ejemplos de homeomorfismos, los conjuntos eran diferentes.

Un ejemplo, trivial, de que sí son homeomorfos es el siguiente. Sea X=R el conjunto de los números reales con la topología usual T1. Sea f una aplicación biyectiva (¡cualquiera!) de R en R. Se define T2=f(T1). Entonces la aplicación f:(R,T_1)\rightarrow (R,T_2) es un homeomorfismo. Sin embargo los elementos de T2, es decir, los abiertos en esa topología ¡pueden ser conjuntos raros!

Pero buscando un ejemplo entre espacios más conocidos tenemos los dos siguientes:

1. Topología de Sierpinski. Sea X=\{a,b\} con las topologías T_1=\{\emptyset,X,\{a\}\} y T_2=\{\emptyset,X,\{b\}\}. Entonces la aplicación f dada por f(a)=b y f(b)=a es un homeomorfismo de (X,T1) en (X,T2).

2. En R consideramos las topologías T1 generada por los intervalos de la forma [a,\infty) y T2 por los intervalos (-\infty),a] . Entonces la aplicación f:(R,T_1)\rightarrow (R,T_2) dada por f(x)=-x es un homeomorfismo.

Homeomorfismos entre polígonos del plano

En esta entrada queremos probar que todos los polígonos del plano son homeomorfos. Consideraremos, para simplificar, polígonos regulares.

La idea se basa en coger un polígono de n lados tal que $n>3$ para convertirlo en uno de $n-1$ lados. Se podría hacer la operación tantas veces como se quiera (hasta llegar a un polígono de $n=3$ lados) y usar su inversa para crear uno de $n+1$ lados. Sea $P_n$ un polígono regular de n lados cuyos vértices son: $\{v_1,\ldots,v_n\}$ con $v_k=(\cos(\frac{2k\pi}{n}),\sin(\frac{2k\pi}{n}))$.

Si cogiéramos los cuatro primeros vértices podemos formar un polígono de 4 lados. Tenemos las diagonales $v_1v_3$ y $v_2v_4$. La idea es trabajar con la diagonal $v_1v_3$ y llevar (empujar) $v_2$ hacia esta diagonal a lo largo de una dirección de 45 grados. Para ello vamos a sacar la ecuación de la recta de la diagonal $v_1v_3$.

Supongamos que los puntos $v_k$ tienen coordenadas $(x_k,y_k)$. Entonces la diagonal $v_1v_3$ tiene pendiente $m=(y_3-y_1)/(x_3-x_1)$ y la recta tiene de ecuación $Y=y_3+m(X-x_3)$. Cogemos ahora un punto $(x,y)$ de los lados $v_3v_4$ o $v_4v_1$. La ecuación de la recta que pasa por $(x,y)$ con pendiente 1 es $Y=y+(X-x)$. La intersección de esta recta con la diagonal $v_1v_3$ es $$f(x,y)=(-\frac{(x_3-x_1)x+x_3y_1+(x_1-x_3)y-x_1y_3}{x_1-x_3-y_1+y_3},\\
-\frac{(y_3-y_1)x+x_3y_1+(y_1-y_3)y-x_1y_3}{x_1-x_3-y_1+y_3}).$$
Esta sería expresión del homeomorfismo. Para la inversa, el proceso sería algo más complicado porque una parte de la diagonal iría al lado $v_3v_4$ y la otra al lado $v_4v_1$

(por Rafael Muñoz)

¿se podría probar el resultado de una forma más sencilla y rápida?

Homeomorfismos de intervalos en otras topologías II

En la entrada anterior, hemos considerado homeomorfismos entre intervalos de R tomando otras topologías. Continuamos con dicho problema, asumiendo que R tiene la topología a derechas, es decir, la que tiene por base a intervalos de la forma $[a,\infty)$.

Se sabe que las aplicaciones continuas son las aplicaciones continuas. Por tanto, si nos preguntamos si dos conjuntos son homeomorfos, es equivalente a encontrar aplicaciones crecientes entre ellos.

De esta forma, dos intervalos abiertos acotados son homeomorfos entre sí, y homeomorfos a los de la forma $(a,\infty)$ y a R. Y lo mismo podemos decir entre intervalos de la forma $[a,\infty)$, $(-\infty,a)$, $(-\infty,a]$, intervalos cerrados, intervalos de la forma $(a,b]$ y finalmente, $[a,b)$. Observemos, y esto es importante, que las aplicaciones biyectivas crecientes que hemos usado para probar lo anterior, son en verdad, homeomorfismos con la topología usual. Pero esto sobra, ya que sólo hace falta biyectiva y creciente.

Quedaría estudiar, por ejemplo, si $(0,\infty)$ es homeomorfo a $[0,\infty)$. ¿existen aplicaciones biyectivas y crecientes entre un conjunto y otro? Observad que si una aplicación biyectiva es creciente, lo mismo sucede con su inversa.

Homeomorfismos de intervalos en otras topologías

Se ha probado que los intervalos abiertos de $R$ son homeomorfos entre sí considerando la topología usual. Nos preguntamos ahora si es cierto el resultado, pero cambiando la topología.

Si tomamos la topología discreta, entonces todo subconjunto tiene como topología inducida la topología discreta. Ya que dos intervalos (abiertos o cerrados, acotado o no acotados) son biyectivos, entonces son homeomorfos.

Tomemos ahora una topología más interesante de $R$, por ejemplo, la topología de Sorgenfrey. Entonces dos intervalos abiertos acotados son homeomorfos entre sí. Para ello, consideramos $(a,b)$ y $(c,d)$ dos intervalos abiertos acotados y $f$ un homeomorfismo con la topología usual entre ambos intervalos que sea creciente, por ejemplo, uno del tipo $f(x)=mx+n$, con $m>0$. Entonces $f$ es continua con la topología de Sorgrenfrey, ya que la imagen inversa de un intervalo de la forma $[x,y)$ es otro del mismo tipo. Ya que la inversa de $f$ también es creciente, se concluye que $f$ es un homeomorfismo de $R$ en $R$ con la topología de Sorgenfrey. Tomando la aplicacion $x/(1+x)$, establecemos un homeomorfismo entre $R$ y el intervalo $(-1,1)$.

Del mismo modo, se concluye que todos los intervalos cerrados son homeomorfos entre sí. Lo mismo, todos los intervalos de la forma $[a,b)$; Y también los de la forma $(a,b]$ entre sí.

Del mismo modo, una traslación creciente, es decir, una aplicación de la forma f(x)=x+n, es un homeomorfismo con la topología de Sorgenfrey. Por tanto, los intervalos de la forma (a,infinito) son homeomorfos entre sí; lo mismo con los intervalos de la forma [a,infinito); los de la forma (-infinito,a); y los de (-infinito,a].

Nos quedaría responder a las siguientes preguntas. ¿(0,infinito) es homeomorfo a (-infinito,0)? Está claro que la aplicación f(x)=-x no es un homeomorfismo, ya que no es continua, pero podría existir otro.

¿(0,1) es homeomorfo a [0,1]? ¿(0,1]? es homeomorfo a [0,1)?

Ejemplos de homeomorfismo explícitos

Siguiendo el modo de trabajar como hemos venido haciendo en clase, es decir, "escribiendo" las deformaciones entre subconjuntos de espacios euclídeos, podemos explicitar ejemplos de parejas de conjuntos homeomorfos entre sí.

Dos esferas; dos esferas menos sendos puntos; dos cilindros; dos círculos; un cilindro y un cilindro abierto acotado del tipo S^1 x (a,b); un cono y R^2; un cono menos un punto y una corona circular; dos parejas de rectas que no se cortan entre sí; dos parejas de rectas que se corta en un punto; una recta de R^n y un intervalo; una esfera menos dos puntos y un cilindro; un semiplano abierto de R^2 y R^2; R^2 menos una recta y dos bolas disjuntas de R^2.

Un intervalo es homeomorfo a una recta

Cuando uno trabaja con la recta de los números reales R (pienso en Cálculo, en primero de carrera), uno la pinta habitualmente como "una recta en el papel". Esto en verdad es una "representación" de R, ya que la recta en el papel es al menos, un subconjunto del plano (RxR). Sin embargo, mentalmente, es así como uno se imagina R.

En verdad, si uno considera una recta afín de R^n, entonces es fácil probar que dicha recta es homeomorfa a un intervalo abierto. En particular a R. De esta forma, no hay problema de pintar R como una raya en el papel: es más, dicha raya no tiene porqué ser "recta", topoló- gicamente hablando claro.

Del mismo modo, un trozo de una recta afín, es decir, si cogemos unas tijeras y cortamos un segmento del mismo, es homeomorfo a un intervalo cerrado de R.

Homeomorfismos, páginas webs y conjetura de Poincaré

Cristina Martín me ha escrito un correo sobre cómo visualizar los homeomorfismos a través de figuras de plastilina. La historia se llama "Aroa y Miguel". Lo podéis ver en
http://www.uam.es/otros/hojavol/hoja10/poincare10.html.

Continuando con esto, es posible ver las deformaciones (homeomorfismos) entre subconjuntos de espacios euclídeos con el programa Mathematica. Jose Luis Rodríguez me ha enseñado que en su blog se puede ver vídeos que él ha hecho y publicado en YouTube. Se puede ver un ejemplo aquí y la explicación del proceso de creación de vídeo. También podéis ver más ejemplos en

http://topologia.wordpress.com/2009/03/18/encoger-rajar-y-pinchar/

Por último, Pedro Barragán quería escribir algo sobre la conjetura de Poincaré. La historia es larga y hay mucho sitios dónde ver algo sobre ella. En este blog, por ejemplo. El mismo enlace de antes y de nuevo en el blog de Juegos topológicos, donde hay más enlaces.

Homeomorfismos que no son afinidades

Por supuesto que no todos los homeomorfismos de R^n son afinidades (ver entrada de ayer). Un ejemplo es la función tag(x), que es un homeomorfismo entre el intervalo (-\pi/2,\pi/2) y la recta real R.

Otro ejemplo es el de una recta de R^n y R. Así, al recta R\times\{0\} del plano es homeomorfa a R, mediante la aplicación \phi(x,0)=x y \phi no es una afinidad.

Otro ejemplo es que la gráfica de una parábola y=x^2, esto es, A=\{(x,x^2);x\in R\} es homeomorfa a una recta. Esto es evidente si nos imaginamos A como si fuera una cuerda: no hay nada más que "bajar" la cuerda y hacerla una recta. En este caso el homeomorfismo entre A y R es \phi(x,x^2)=x y de nuevo no es una afinidad.

Los dos últimos ejemplos son casos particulares de un resultado más general que nos dice que si f:R^n\rightarrow R es una aplicación continua, entonces el grafo de f, es decir, el conjuntoA=\{(x,f(x));x\in R\}\subset R^{n+1} es homeomorfo a R^n, sin más que tomar\phi(x,f(x))=x.
En el primer ejemplo, f(x)=0, y en el segundo, f(x)=x^2.

Una "aplicación" de los homeomorfismos

Entre uno de los usos de los homeomorfismos es que, para estudiar la topología de un espacio X, podemos sustituir dicho espacio por otro Y homeomorfo a él, y tal que Y sea ´"más fácil" de estudiar. Es así, usando homeomorfismos, cuando uno dice algo del tipo "sin perder generalidad, podemos suponer que X es Y". ¿Qué quiere decir esto exactamente?

Supongamos que X es el círculo de R^2 de centro (2,4) y radio 5. Queremos hallar el interior de X. Sabemos que X es homeomorfo al círculo Y de centro el origen y radio 1. Y supongamos que para nosotros es más fácil estudiar el problema de interior para Y. Entonces decimos, "sin perder generalidad, podemos suponer que el círculo es Y".

Hallamos ahora el interior de Y, y probamos entonces que int(Y) es el conjunto vacío. Consideramos f un homeomorfismo de R^2 en R^2 que me lleva Y en X: por ejemplo, la homotecia de razón 5 seguido de la traslación de vector de traslación (2,4). Entonces f(Y)=X. Se sabe que dado un homeomorfismo, f(int(Y))=int (f(Y)). Por tanto, f(int(Y))=int(X), es decir, el vacío, ya que int(Y) es el vacío.

Deformaciones a través de afinidades

Una afinidad en R^n es una aplicación del tipo x \longmapsto Ax+b, donde A es una matriz cuadrada nxn y regular, y b es un vector de R^n. Se ha visto hoy en clase que las afinidades son homeomorfismos.

Si tomamos un subconjunto A de R^n y le aplicamos una afinidad f, nos da un conjunto f(A) que es homeomorfo a A. Como ejemplos tenemos:

Todas las bolas de R^n son homeomorfas entre sí, a través de traslaciones y homotecias.

Todos los subespacios vectoriales de la misma dimensión son homeomorfos entre sí, ya que siempre hay un isomorfismo que lleve uno en otro. Así, todas las rectas de R^n son homeomorfas entre sí. Todos los planos son homeomorfos entre sí.

Una elipse de R^2 es homeomorfa a un círculo de R^2. Un elipsoide de R^3 a una esfera de R^3. Esto se hace a través de una aplicación del tipo f(x,y,z)=(ax,by,cz), donde a, b y c son constantes.

Si tomamos cilindros, entonces todos son homeomorfos entre sí, independientemente del radio o del eje.

Ser bello no es una propiedad topológica

Una propiedad topológica es una propiedad que se mantiene por homeomorfismos. Pero ¿cuántas propiedades topológicas hay? Me imagino que muchas, muchísimas. Por cierto, ¿hay propiedad que no son topológicas? Evidentemente que sí. Un alumno me ha comentado al salir de clase que "propiedades hay muchas" y por tanto, uno las puede utilizar para estudiar si dos espacios no son homeomorfos. No. Hay que ver primero cuáles de ellas son topológicas. Pongo tres ejemplos de propiedades que no son topológicas.

1. Sea la propiedad "tener al 1 como elemento". Si (X,T) es un espacio topológico que tiene al 1 como elemento e (Y,T') es otro espacio homeomorfo a (X,T), no hay manera de saber si el 1 es o no elemento de Y. Es más, existen espacios homeomorfos de forma que uno tiene al 1 como elemento y el otro no: Sea X=\{1,2\} e Y=\{0,2\} ambos con la topología discreta. Entonces cualquier biyección entre ambos espacios es un homeomorfismo. Sin embargo X satisface la propiedad e Y no.

2. Ser bello no es una propiedad topológica. Primero, precisamos qué estamos haciendo. Lo podemos hacer en el conjunto de las personas. Consideramos todas las personas, como subconjuntos del espacio euclídeo y con la topología usual. Supongamos que sabemos cuándo una persona es bella o no, por ejemplo, si es bella sólo en la cara. Imaginemos que la piel de la persona se puede moldear (como si fuera plastilina), de forma que podamos estirar de un lado y encoger de otro, tal como hacen los cirujanos plásticos. Entonces es evidente que a una persona P1 que NO es bella (no satisface la propiedad) le podemos deformar la cara hasta hacerla guapa, a base de estiramiento por aquí y por allá. Llamamos P2 a la persona resultante (la misma que antes, pero cambiada la cara). Entonces todo el proceso de estiramiento/encogimiento no es más que haber realizado un homeomorfismo de P1 a P2. Esto prueba que ser bello no es una propiedad topológica.

3. Ser bajo no es una propiedad topológica. Supongamos, considerando el mismo conjunto de espacios topológicos que antes (¡las personas!), que decimos "una persona es baja si mide menos de 1'50 m." Entonces "ser bajo no es una propiedad topológica". Podemos imaginar una persona joven, que mida menos de 1'50 y la llamamos P1. En su periodo de crecimiento, su cuerpo se va estirando, y llegado el momento, sobrepasa esa medida, dejando de ser bajo. Llamamos P2 a esa "nueva" persona. Entonces hay un estiramiento de la persona que hace establecer un homeomorfismo entre P1 y P2. Esto prueba que ser bajo no es una propiedad topológica. ¡También hay ejercicios de estiramiento que hacen crecer un poco la estatura de las personas! y si no, ver este enlace.

Homemorfismo y la plastilina

Habitualmente, cuando uno oye hablar de la Topología siempre escucha cosas como que "la Topología es la ciencia de la plastilina" o que "La Topología es la geometría de las figuras de goma". En la Wikipedia se afirma que es "Geometría de la página de chicle". La idea es que la Topología estudia las propiedades invariantes por homeomorfismos.

Un homeomorfismo puede imaginarse como una deformación bicontinua (aplicación biyectiva, continua e inversa continua) ya que en una "deformación", puntos próximos va a puntos próximos (continuidad). No está permitido en la deformación "cortes" o "pegamiento", ya que esto viola la biyectividad.

Con esta entrada quiero mostrar que hay que tener cuidado con todo lo anterior, es decir, con las expresiones entrecomilladas. Concretamente, lo anterior se asume si nos estamos imaginando objetos en el espacio euclídeo con la topología usual.

Si pincháis aquí veréis una ejemplo muy intuitivo de lo que es un homeomorfismo. Un objeto, una taza, pasa a ser una rosquilla mediante un homeomorfismo. ¿cuáles son los espacios topológicos? Subconjuntos del espacio euclídeo (taza y rosquilla) con la topología usual. Por esta razón, podemos "ver" el homeomorfismo como una deformación, ya que la deformación del vídeo es "visual" (no paro de entrecomillar).

En la Wikipedia se afirma que "un triángulo es topológicamente lo mismo que una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de forma continua, sin romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento, ya que habría que partirla por algún punto." Claro, todo ello, aunque no se dice, es con la topología usual.

Pero si la topología cambia (incluso con objetos del espacio), entonces es difícil (si no imposible) saber qué es una deformación. Si uno asume que las topologías son las discretas, entonces toda aplicación biyectiva es homeomorfismo. Un ejemplo no trivial y que puede ser útil. Consideramos dos conjuntos X e Y ambos con la topología de los complementos finitos. Entonces toda aplicación biyectiva entre ellos es un homeomorfismo. Recordar que en esta topología, dos entornos de sendos puntos ¡siempre se intersecan!

Cogemos ahora un círculo y un segmento y consideramos en ellos la topología de los complementos finitos. Como ambos tienen el mismo cardinal (el de R), son biyectivos. Entonces cualquier aplicación biyectiva entre el círculo y el segmento es "una deformación considerando la topología de los complementos finitos".

Esto nos asegura pues, como se afirma en la Wikipedia, que "El intentar visualizar los conceptos es un error frecuente entre los principiantes en la Topología, que les hace avanzar muy lentamente cuando no pueden encontrar un ejemplo gráfico, tener una visión parcial de algunos conceptos, e incluso incurrir en errores. Es frecuente entre los estudiantes primerizos escuchar que "no entienden la Topología" y que no les gusta esa rama, y generalmente se debe a que se mantienen en esta actitud gráfica."

Último ejemplo de "deformación rara". Consideramos R con la topología a derechas. Entonces toda aplicación creciente es continua. Por tanto, la aplicación f(x)=x si x es menor que 0 y x+1 si es mayor o igual que 0 es un homeomorfismo de R en R. Sin embargo es una aplicación que "rompe" la recta real: rompe si vemos R con la topología usual, no con la topología a derechas.

Por el contrario, la aplicación f(x)=-x no es un homeomorfismo (no es creciente); sin embargo con la topología usual (tanto en el dominio como el codominio) es un homeomorfismo: la deformación consiste sólo en girar la recta euclídea.

(dedicado a Rajoy)

Continuidad en un punto/continuidad en un espacio

Recuerdo el ejemplo que hoy se ha hecho en clase sobre continuidad. Se considera f(x)=x^2 entre (R,Tu) y (R,Ts), donde Tu es la topología usual y Ts la de Sorgenfrey.

Estudiar la continuidad de f es algo diferente de estudiar en qué puntos es continua. En nuestro caso, en un primer paso vimos claramente que f^{-1}([1,4))=[1,2)\cup (-2,-1] , que no pertenece a Tu. Por tanto, la aplicación no es continua. Aunque para otros abiertos, por ejemplo, [-1,1), se tenía f^{-1}([-1,1))=(-1,1) que sí es abierto en la topología usual. Por tanto, la aplicación no es continua, pero hay abiertos en Ts cuya imagen recíproca sí es abierto en la topología usual. ¿Esto nos ayuda a saber en qué puntos la función es continua?

Cuando hemos tomado abiertos de la forma [a,b), si su imagen inversa es abierto, entonces f es continua en una preimagen de a. Por ejemplo, tomamos [0,1). Entonces f^{-1}([0,1))=(-1,1),, luego f es continua en x=0. Podemos observar que los únicos elementos de la base usual de Ts, de la forma [a,b), cuya imagen inversa es abierto en la usual son aquéllos en los que a\leq 0. Por tanto, f sólo es continua en el punto x=0, y no es continua en el resto de los puntos del dominio.

Más sobre conjuntos densos

Siguiendo con conjuntos densos, se imagina uno que un conjunto denso debe ser "muy grande". Podríamos decir que sí, pero "grande" desde un punto de vista topológico, como no podría ser de otra forma, porque en cuanto a su "tamaño" viéndolo como conjunto, la cosa cambia. Pongo dos ejemplos.

Sea X un conjunto con la topología T del punto incluido para un punto p. Entonces el conjunto A=\{p\} es denso en X: dado cualquier abierto de (X,T), debe contener a p, luego interseca a A. En este caso, A ¡sólo tiene un elemento!.

Tomamos ahora X con la topología discreta T. Entonces todo conjunto es cerrado, es decir, A=\overline{A}. Por tanto, el único conjunto denso es X. En este ejemplo, cualquier subconjunto suyo, por muy grande que sea (desde el punto de vista conjuntista), nunca es denso en X.

Conjuntos densos

Un subconjunto A de un espacio topológico X es denso si su adherencia es X. Esto significa que todo punto de X es adherente a A, es decir, todo abierto de X interseca a A. De forma equivalente, A es denso si dada una base de abiertos de X, todo elemento de la base interseca a A.

El ejemplo típico es considerar el conjunto de los números racionales Q en R, con la topología usual. Tomamos la base usual de R, es decir, los intervalos abiertos. Entonces, todo intervalo interseca a Q, ya que entre dos números reales, existe un número racional. De la misma forma, el conjunto de los números irracionales es denso en R.

A continuación pongo cómo el mismo subconjunto A en X es denso o no, cambiando la topología en X. Tomamos X=R^2 y A=\{0\}\times R.

1. Consideramos en R^2 la topología usual. Entonces A no es denso en R^2. Por ejemplo, si tomamos el punto p=(2,0) y su entorno dado por la bola B_1(p), entonces esta bola no interseca a A. En verdad, la adherencia de A es el propio A, es decir, A es un conjunto cerrado.
2. Tomamos en R^2 la topología que tiene por base la familia \beta=\{B_y=R\times\{y\};y\in R\}. Entonces todo elemento de B_y interseca a A, concretamente, el punto (0,y)\in B_y\cap A.

Topologías en red

Estamos tan acostumbrados a vivir rodeados de tecnología (desde que nos levantamos hasta que nos acostamos) que los adelantos nos llegan a la mano de manera fácil y casi sin darnos cuenta. La mayoría de las veces ni siguiera nos planteamos qué hay detrás de cada uno de estos inventos y qué motivos hacen que funcionen de una manera y no de otra.

Navegando por la red, me he preguntado ¿está la topología presente en alguno de mis movimientos por este mundo virtual? Pues la respuesta es sí. Se tratan de las topologías de red.

Las LAN (Local Area Network) son redes de datos de alta velocidad y bajo nivel de errores que abarcan un área geográfica relativamente pequeña y que conectan estaciones de trabajo, dispositivos periféricos, terminales y otros dispositivos que se encuentran en un mismo edificio u otras áreas geográficas limitadas.

En este caso, el término topología puede definirse como el "estudio de la ubicación" donde los "mapas" de nodos (puntos) y los enlaces (líneas) forman patrones. Algunas de las topologías que se utilizan comúnmente en Networking (estaciones de trabajo) son de bus, de anillo, en estrella, en estrella extendida, jerárquica y en malla.

Vamos a verlas desde un punto de vista físico (describe el esquema para el cableado de los dispositivos físicos), matemático (M) y desde un punto de vista lógico(L) (para saber cómo circula la información a través de una red) y mostrando ventajas (V) y desventajas (D).

1. Topología de bus. (M) Tiene todos sus nodos conectados directamente a un enlace y no hay conexión entre ellos. (L) Todos los dispositivos de la red ven todas las señales de todos los demás dispositivos. (V) Toda la información se dirige a todos los dispositivos (D) Es común que se produzcan problemas de tráfico de datos.
2. Topología de anillo. (M) Tiene un anillo cerrado formado por nodos y enlaces, en el que cada nodo está conectado con sólo dos nodos adyacentes. (L) Para que la información pueda circular, cada estación debe transferirla información a la estación adyacente.
3. Topología de estrella. (M) Tiene un nodo central desde el que se irradian todos los enlaces hacia los demás nodos y no permite otros enlaces. (L) El flujo de toda la información pasa a través de un solo dispositivo. Es las más usada en las LAN. (V) Todos los nodos se comunican entre sí. Utilidad en zonas de seguridad o de acceso restringido. (D) Si el nodo central falla, toda la red se desconecta.
4. Topología en estrella extendida. (M) Cada nodo que se conecta con el nodo central también es elcentro de otra estrella. (L) El objetivo es que la información se mantenga local. Esta es la forma de conexión es utilizada por el sistema telefónico. (V) El cableado es más corto. (D) Limita la cantidad de dispositivos que se deben interconectar con cualquier nodo central.
5. Topología jerárquica. (M) Tiene un nodo de enlace troncal desde el que se ramifican los demás nodos.
6. Topología en malla. (M) Cada nodo se enlaza directamente con los demás nodos. (L) Su comportamiento depende enormemente de los dispositivos utilizados. (V) Si falla un enlace, la información circula a través de enlaces alternativos para llegar a su destino. (D) Funciona con pocos de nodos, porque sino la cantidad de enlaces y conexiones es abrumadora.

Podemos relacionar los dibujos anteriores con el problema de los puentes de Konigsberg.

La descripción de la topología de la red de la Universidad de Granada se encuentra en: http://www.ugr.es/Informatica/redes/topo.htm

(Por Cristina Martín)

Y la capital de España es Madrid

Una de las consecuencias del ejercicio escrito que se hizo en clase el viernes pasado es que aparece un problema que surge muchas veces en clase: ¿qué es un razonamiento? Al menos podemos decir qué no es un razonamiento.

Pongo un ejemplo: ante la pregunta de si cierto conjunto es o no abierto, se responde "El conjunto A es abierto ya que para cada punto suyo podemos encontrar un entorno que queda dentro del conjunto".

En otro ejercicio para probar que el interior de un conjunto A es vacío se escribe "Si tomamos x perteneciente a A no existe ningún elemento de la base, es decir, ninguna bola, contenida en A, en la circunferencia de centro (0,0) y radio 1, luego el interior es vacío".

Estos dos ejemplos son una muestra de lo que no es un razonamiento. En el primer ejemplo, el alumno escribe la caracterización de conjunto abierto mediante entornos; en el segundo, uno quiere probar que el interior el vacío, y entonces escribe lo que no es haber puntos interiores.

Una forma de saber si es o no un razonamiento, es la siguiente: siguiendo el primer ejemplo anterior, supongamos que nos dan un espacio topológico, un subconjunto suyo y queremos saber si es abierto o no. Después del intento de solución que hayamos hecho nos preguntamos ¿dónde hemos usado que el espacio topológico que nos dan?; si cambiamos de topología manteniendo el mismo conjunto, ¿podemos usar el mismo argumento? En definitiva, en algún momento del razonamiento tenemos que usar el espacio y el conjunto A, la forma que están definidos, y sus propias características.

Y para acabar, pongo otro ejemplo de "no razonamiento" y que da título a esta entrada. Ante una pregunta, se responde con una proposición verdadera, pero que no tiene nada que ver con la pregunta realizada. Un ejemplo simple sería "¿qué es un conjunto cerrado?" "en la topología discreta todos los conjuntos son cerrados". La "respuesta" es una proposición verdadera, pero no responde a la pregunta realizada. Es como si hubiéramos dicho "La capital de España es Madrid" ¿y?

Frontera, frontera...

Un conjunto A de un espacio topológico se llama frontera si A está incluido en Fr(A). Por ejemplo, en R, el conjunto de los números racionales es frontera. También el conjunto de los números irracionales.

Estudiar alguna caracterización de un conjunto frontera y poner más ejemplos, tanto en R como en otros espacios topológicos.

Topología de Sorgenfrey

Una persona me preguntó hace unos días "para qué sirve la topología de Sorgenfrey". El "para qué sirve" significa "para qué sirve en la vida cotidiana". No tengo respuesta a ello, pero me gustaría, por curiosidad, saberlo (si es que la tiene). Lo que sí he encontrado es un artículo del propio Sorgenfrey, del año 1947, donde aparece dicha topología. El enlace es el siguiente:

http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183510809

donde podéis descargarlo. El objetivo de dicho artículo era poner un ejemplo de dos espacios paracompactos cuyo producto no es paracompacto. Y el ejemplo lo encuentra al tomar la topología de Sorgenfrey, y hacer producto de ella consigo misma. De todas formas, ahí queda la pregunta sobre la "utilidad".

Sobre la "utilidad" de otra topología, la de Sierpinski, escribí algo en una entrada del blog en el curso pasado:

http://topologia-i.blogspot.com/2009/01/sierpinski.html

La clase de mañana

La clase de mañana viernes va a ser dedicada a calcular el interior y adherencia de diferentes subconjuntos de R^2 (con la topología usual), a saber:

1. El círculo x^2+y^2=1.
2. El conjunto x^2+y^2>1.
3. La parábola y=x^2.
4. El conjunto y>x^2.
5. El eje de abcisas.

Podríamos hacer también el mismo estudio, pero cambiando la topología en R^2 por aquélla que tiene como base los conjuntos B_y=R x {y}.

Un mes con la asignatura

Ya ha transcurrido un mes desde que se empezó el curso. El tema 1 se ha acabado y se va a hacer el examen correspondiente. No voy a valorar cómo ha sido dicho mes pero sí me gustaría que los alumnos hicieran aquí en el blog sus comentarios de cómo ha sido este mes (en la entrada del 2 de octubre, preguntando sobre cómo fue el inicio del curso, sólo hubo un comentario).

Quiero recordar aquí formas de participar en clase (y mejorar la nota).

1. haciendo ejercicios en la pizarra,
2. haciendo comentarios y entradas en el blog,
3. haciendo los trabajos propuestos,
4. participando en el foro,
5. abriendo nuevas hebras en el foro,
6. preguntando en clase,
7. participando en el chat.

Éstas son alguna de las formas, aunque no están limitadas a ellas.

El problema de los puentes de Königsberg

Un ciudadano de Königsberg (Prusia) se propuso dar un paseo cruzando cada uno de lossiete puentes que existen sobre el río Pregel una sola vez. ¿Cómo debe cruzar los puentes para realizar el paseo?

En 1736, el matemático suizo Leonard Euler en una de sus obras respondía a esteproblema mediante una nueva geometría: «geometriam situs» en el título de Euler,palabras que hoy se traducen como topología.

Tomemos el problema de los puentes de esta forma:Fijémonos solamente en los vértices: los puntos donde se encuentran tres o más líneas.Digamos que un vértice es impar, si allí se encuentran una cantidad impar de líneas:tres, cinco, siete...Si en un vértice se encuentran una cantidad par de líneas, entonces lo llamaremosvértice par.

Pues bien:

-Si un gráfico no tiene vértices impares, entonces se puede dibujar. Además, sepuede dibujar empezando desde cualquier vértice.

-Si un gráfico tiene exactamente dos vértices de impares, entonces se puededibujar, pero siempre será necesario comenzar en uno de ellos y terminar en el otro.

-Si un gráfico tiene tres o más vértices impares (como es nuestro caso), entoncesno se puede dibujar.

(por Nico)

Topología relativa de la topología del punto incluido

Consideramos un conjunto X con la topología del punto incluido parar un punto p fijo. Sea ahora A un subconjunto de X y consideramos la topología relativa en A. Me pregunto si la topología relativa en A es ... la del punto incluido. Por ejemplo, ¿tiene sentido la pregunta? ¿para qué punto sería? Y en caso de que la respuesta fuera NO, ¿la topología relativa tiene nombre?, quiero decir si es conocida.

Las preguntas anteriores nos las podríamos hacer con topologías "con nombre", por ejemplo, ¿la topología relativa en A de la topología de los complementos finitos de X es la topología de los complementos finitos en A?

Ejercicios de autoevaluación

En la plataforma SWAD de la Universidad (http://swad.ugr.es/), los alumnos de la asignatura están (o deberían estar) dados de alta. Si vais a la asignatura de Topología I, veréis en la pestaña de "Autoevaluación" un "Test de evaluación" que estoy elaborando. Es una serie de preguntas tipo test con una única opción como respuesta.

Os propongo que me enviéis por correo electrónico preguntas del tipo de las que aparecen allí, para que yo pueda ir añadiéndolo a la base de preguntas. Sería una pregunta, con cuatro opciones y solo una de ellas verdadera.

Plano de Moore

El plano de Moore es un espacio topológico definido sobre X=R\times [0,\infty). La topología se da mediante base de entornos. Para los puntos de L=R\times (0,\infty) son las bolas euclídeas centradas en cada punto y contenidas en X. Para los puntos (x,0) de R\times\{0\} son las bolas de X tangentes a L en (x,0) junto con el punto (x,0).

El ejercicio es probar que esto define una topología en X.

Topología relativa

Tomamos R con la topología usual Tu y A=[0,2) con la topología relativa de Tu, y que denotaremos por Tru.

1. Sea x=0 y U=[0,1]. Entonces este conjunto NO es un entorno de 0 en Tu pero SÍ lo es en Tru.
2. El conjunto [0,2) NO es abierto en Tu pero SÍ es abierto en Tru.
3. El conjunto [1,2) NO es cerrado en Tu pero SÍ en Tru.

Distancia discreta en R^n

En  $\mathbb{R}^n$ considera la distancia discreta, es decir, la que está definida como $d(x,y)=0$ si $x=y$ y $d(x,y)=1$ si $x$ no es $y$. Entonces las bolas son $B_r(x)=\{x\}$ si $r$ es menor o igual que $1$ y $B_r(x)=\mathbb{R}^n$ si $r>1$. Sabemos que $(\mathbb{R}^n,d)$ es un espacio métrico y la base formada por las bolas son base de una topología. Por tanto, los elementos de esa base son conjuntos formados por un punto y $\mathbb{R}^n$, es decir, $\beta=\{\{x\};x\in R^n\}\cup\{R^n\}$.

La topología que da dicha base es la topología discreta. Primera observación: los abiertos NO son los conjuntos formados por puntos y $\mathbb{R}^n$. Los abiertos son uniones de ellos.

De esta forma, si $A$ es un subconjunto cualquiera de $\mathbb{R}^n$, entonces $A$ es unión de sus puntos, los cuales al ser abiertos (están en la base), A es unión de abiertos, luego abierto. Esto prueba que la topología es la discreta.

(por María Rita)

¿Bases de la topología usual?

En el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$  podemos considerar familias de conjuntos "parecidas" a la base usual de la topología usual. Por ejemplo, podemos tomar:

$\beta_1=\{(a,b); a < b, a,b\in N\}$ donde N es el conjunto de los números naturales.

$\beta_2=\{(a,b); a < b, a,b\in Z\}$ donde Z es el conjunto de los números enteros.

$\beta_3=\{(a,b); a < b, a,b\in Q\}$ donde Q es el conjunto de los números racionales.

$\beta_4=\{(a,b); a < b, a,b\in I\}$ donde I es el conjunto de los números irracionales.

$\beta_5=\{(a,b); a < b, a\in Q, b\in Z\}$.

Y así sucesivamente. Dos preguntas hago:

1. ¿las familias anteriores son base de alguna topología?
2. ¿las familias anteriores son base de la topología usual de R?

Topología usual / topología de Sorgenfrey

Estas topología son diferentes. En verdad, la topología usual $\tau_u$ está incluida en $\tau_S$. Llamamos $\beta=\{(x,y);x < y, x,y\in {\mathbb R}\}$ y $\gamma=\{[x,y);x < y, x,y\in {\mathbb R}\}$ las bases de $\tau_u$ y $\tau_S$.

Un elemento de $\beta$ es abierto en $\tau_S$: sea $(a,b)$ y $x\in(a,b)$. Entonces $x\in [\frac{a+x}{2},\frac{b+x}{2})\subset(a,b).$ Si los elementos de $\beta$ están en $\tau_S$, las uniones arbitrarias de $\beta$ (es decir, $\tau_u$) son abiertos en $\tau_S$, por ser unión de abiertos.

El conjunto $[0,1)$ pertenece a $\tau_S$, pero no a $\tau_u$, pues tendría que existir $a$ y$ b$ tales que $0\in (a,b)\subset [0,1).$ Del hecho $0\in (a,b)$ se tiene $a< 0 < b$ y de la inclusión $(a,b)\subset [0,1]$ que $0\leq a$: contradicción.

(por R. Ruiz)

Intervalo cerrado/conjunto cerrado

Un intervalo cerrado $[a,b]$ de la recta real $\mathbb{R}$ se define como $[a,b]=\{x\in \mathbb{R};a\leq x\leq b\}$. Esta definición NO tiene nada que ver con Topología.

En $\mathbb{R}$ podemos considerar muchas topologías, y nos podemos preguntar si un intervalo cerrado $[a,b]$ es un conjunto cerrado en el espacio topológico. Os dejo que penséis esta cuestión en las siguientes topologías de $\mathbb{R}$ (doy las bases de las topologías):

1. topología usual.
2. $\beta=\{[x,y);x< y, x,y\in \mathbb{R}\}.$
3. $\beta=\{[x,\infty);x\in \mathbb{R}\}$
4. $\beta=\{(-\infty,x];x\in \mathbb{R}\}.$
5. $\beta=\{(x,\infty);x\in\mathbb{R}\}.$
6. $\beta=\{(x,y];x< y,x,y\in \mathbb{R}\}.$

Abierto/cerrado

Ya hemos comentado en clase cierta confusión que se puede generar al usar los conceptos de 'abierto' y 'cerrado'. Los conjuntos abiertos son los elementos de la topología y los conjuntos cerrados son los conjuntos complementarios de los abiertos. Sin embargo conjunto abierto NO es lo contrario de conjunto cerrado, ya que no tiene sentido hablar de 'contrario'.

Del mismo modo, un conjunto puede ser abierto y cerrado a la vez. Por ejemplo en la topología discreta y en la topología trivial el conjunto de los abiertos coincide con el de los cerrados.

En la topología del punto incluido es evidente que un conjunto no puede ser abierto y cerrado a la vez ya que por ser abierto tendría que contener al punto p, y por ser cerrado, su complementario, que es abierto, también lo debería tener como elemento: imposible.

Os pongo dos ejemplos para que penséis esta cuestión. En $X=\{a,b,c,d\}$ se definen dos topologías $\tau_1$ y $\tau_2$ (¡comprobar!) dadas por $\tau_1=\{\emptyset, X, \{a,b\},\{c,d\}\}$ y $\tau_2=\{\emptyset,X,\{a,b\},\{b,d\},\{a,b,d\},\{c\},\{a,b,c\},\{b,c,d\}\}$

Correo electrónico / Facebook

Me gustaría tener el correo electrónico de los alumnos de la asignatura. Para ello os pido que me enviéis un correo donde pongáis vuestro nombre y la dirección de correo que queráis usar para contactar.

Por otro lado, tengo una cuenta en Facebook. En ella he creado un "grupo" llamado Topología I. Invito a los alumnos de la asignatura a unirse a dicho grupo. Como ya sabéis, desde un grupo, se puede interrelacionar con las demás miembros de diversas maneras. Como característica principal que tiene es que sólo es para los alumnos de la asignatura (a diferencia, por ejemplo, del blog). Y segundo, que la temática gira en torno a la asignatura de Topología I.

Sólo tenéis que tener una cuenta en Facebook, y querer unirse al grupo que está en mi cuenta (Rafael López Camino). Pienso que puede ser una experiencia interesante. Y siempre se tiene la posibilidad, en caso de que no funcione, de eliminar el "grupo".

El comienzo de la asignatura ha sido...

Esta entrada es corta. Me gustaría saber vuestra impresión de los primeros días de la asignatura de Topología I.

Sobre numerabilidad

(Una historia sacada por Nico Pérez de internet)

METAFORA DEL HOTEL DE LAS INFINITAS HABITACIONES

Dos grandes hoteleros que querían construir el hotel más grande del mundo se reunieron a dialogar sobre el asunto y comenzaron por el primer y más obvio tema adiscutir: cuántas habitaciones tendría."

—¿Qué te parece si construimos un hotel con 1000 habitaciones?

—No, porque si alguien construyera uno de 2000 habitaciones, nuestro hotel ya nosería tan grande. Mejor hagámoslo de 10 000.

—Pero podría ser que alguien construyera uno de 20 000 y volveríamos a quedarnos con un hotel pequeño. Construyamos un hotel con 1 000 000 de habitaciones, ése sería un hotel grande.

—Y qué tal si alguien construyera uno con..."

Como siempre podría llegar a haber un hotel más grande, llegaron a la conclusión de que era necesario hacer un hotel con habitaciones infinitas de manera que ningúnotro hotel del mundo pudiera superar su tamaño.

Sin embargo en un hotel de infinitas habitaciones no todo es color de rosa. Tan pronto se abrieron las puertas de este hotel la gente comenzó a abarrotarlo y pronto se encontraron con que el hotel de habitaciones infinitas se encontraba lleno de infinitos huéspedes. En este momento surgió la primera paradoja, así que se tomócomo medida que los huéspedes siempre tendrían habitación asegurada pero con el acuerdo previo de que tendrían que cambiar de habitación cada vez que se les pidiera.

Infinito más uno

Fue entonces cuando llegó un hombre al hotel pero éste se encontraba lleno, por supuesto esto no preocupó al cliente pues en el Hotel Infinito se aseguraba que todos tendrían habitación. El hombre pidió su habitación y el recepcionista, consciente de que no habría ningún problema, tomó un micrófono por el que avisó a todos los huéspedes que por favor revisaran el número de su habitación, le sumaran uno y se cambiaran a ese número de habitación, de esta manera el nuevo huésped pudo dormir tranquilamente en la habitación número 1. Pero, ¿qué pasó entonces con el huésped que se encontraba en la última habitación? Sencillamente no hay última habitación.

Dos infinitos

Estando el hotel lleno de infinitos huéspedes, llegó un representante de una agenciade viajes, su problema era que tenía una excursión de infinitos turistas que necesitarían hospedarse esa noche en el hotel. Se trataba por lo tanto de hacersitio a infinitos huéspedes en un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas ocupadas en aquellos momentos. Pero el recepcionista no tuvo ningún problema en aceptar a los nuevos turistas. Cogió el micrófono y pidió a todos los huéspedes quese mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y todas las habitaciones impares quedaron libres. Como hay infinitos números impares, los infinitos turistas pudieron alojarse sin más problema

Estando el hotel lleno con infinitos huéspedes, llegó otro representante de la agencia de viajes aún más preocupado que el primero y avisó al primero el gran problema que había ocurrido, ahora la agencia tenía un infinito número de excursiones con un infinito número de turistas cada una.

"¡Qué enorme problema sepresenta ahora!", pensaban los representantes de la agencia de viajes, ¿cómo podrían hospedar a un número infinito de infinitos turistas?

El recepcionista permaneció inmutable, por lo cual tomó tranquilamente el micrófono y se comunicó solamente con las habitaciones cuyo número fuera primo (p distinto de1) o alguna potencia de éstos (pn), les pidió que elevaran el número 2 al número dela habitación en la que se encontraban ((pn)2) y se cambiaran a esa habitación.

Entonces asignó a cada una de las excursiones un número primo (distinto de 1), acada uno de los turistas de cada una de las excursiones un número impar (t), de manera que la habitación de cada uno de los turistas, se calculaba tomando el número primo de su excursión (p) y elevarlo al número que les tocó dentro de su excursión(t) lo que da pt.

Existiendo un número infinito de números primos y un número infinito de números impares, fácilmente se logró hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro de un hotel que sólo tiene un número infinito de habitaciones.

Algo de historia

En la topología se estudian, por un lado, aquellos espacios en los que se tiene una noción de vecindad para cada uno de sus puntos, llamados espacios topológicos, y por otro lado las funciones entre ellos que respetan esta noción de cernacía, llamadas funciones continuas.

Originalmente la topología se conoció como Analysis Situs, nombre debido a Wilhem Leibniz (1646-1716). Su idea de la topología la encontramos en el siguiente párrafo escrito por Leonard Euler (1707-1783): Además de aquella parte de la geometría que trata sobre cantidades y que se ha estudiado en todo tiempo con gran dedicación, el primero que mencionó la otra parte, hasta entonces desconocida, fue W. Leibniz, el cual la llamó geometría de la posición. Leibniz determinó que esta parte se tenía que ocupar de la sola posición y de las propiedades provenientes de la posición en todo lo cual no se ha de tener en cuenta las cantidades, ni su cálculo... Por ello, cuando recientemente se mencinó cierto problema que parecía realmente pertenecer a la geometría, pero estaba dispuesto de tal manera que ni precisaba la determinación de cantidades ni admitía solución mediante el cálculo de ellas, no dudé en referirlo a la geometría de la posición...

El párrafo anterior es la introducción del artículo en el que se da la solución del famoso problema de los Puentes de Königsberg en 1726 y que consiste en dar una condición necesaria y suficiente para que una gráfica (poliedro de dimensión 1) pueda ser trazada con una línea continua recorriendo cada arista una sola vez. Este artículo se considera como el primer trabajo de topología.

El concepto de espacio topológico fue surgiendo de los trabajos de varios matemáticos, como Riemann (1822-1866) y Cantor (1845-1918), quien definió loa conceptos de punto interior, punto frontera, punto de acumulación, etcétera, para espacios euclidianos. En 1906 Fréchet (1878-1973) define los espacios métricos y en 1913 Weyl sugiere el uso de vecindades para definir espacios topológicos. Finalmente, en 1914, Hausdorff (1868-1942) define las propiedades adecuadas que deben satisfacer las vecindades.

Más en: http://www.matem.unam.mx/rollos/topologia.html

(por Judyt)

Comenzamos con la bibliografía

Hoy hemos empezado el curso. Uno de los ejercicios que he puesto es averiguar qué libros de los de la bibliografía de la asignatura tiene unos contenidos más cercanos a los de la asignatura. El ejercicio es fácil: sólo es mirar el índice, y ver en qué porcentaje se aproxima o coincide cada libro con el temario. En el índice hay que fijarse no sólo en el título del tema, sino en sus subapartados, porque en el temario, cada tema también tiene apartados.

Para aquellas personas que quieran, mañana miércoles después de la clase voy a abrir la biblioteca del departamento por si alguien quiere ver o consultar los libros de topología que hay y comparar con los de la biblioteca de la Facultad. La hora será: 13:05 (en mi despacho) .

Podéis dejar comentarios de los libros que habéis visto aquí en el blog.

Libro de ejercicios de topología

Durante este mes, acabo de publicar un libro de problemas de topología titulado "Ejercicios de Topología General", en la editorial Nativola. Consiste en un conjunto de más de doscientos problemas resueltos que han ido apareciendo en los últimos cursos de la asignatura y dividido en ocho capítulos, que se corresponden a unidades temáticas de la misma.

Espero que os sea de utilidad.

Para ir acabando por este curso

El fin del curso ha llevado aparejado el fin del blog, por el momento. La función de éste era la de ser diario de la docencia de la asignatura. Por tanto, llegados a estas fechas, la actividad del blog es mínima.

Es casi seguro que se va a recoger los contenidos del blog en un Cd para ser repartido a todos los alumnos de segundo. Dicho Cd contendrá todas las entradas del blog (en formato pdf), así como gran parte del material docente que aparecen en el mismo, como los temas, ejercicios, relaciones de exámenes, etc. Creo que tendré estos Cds para primeros de septiembre.

Para aquellos alumnos que tengan alguna consulta/pregunta/duda, a través del correo electrónico puedo responder sin problema.

Compactificación por un punto

Sea un espacio compacto $X$ y $p$ un punto suyo. Me pregunto si es cierto que una compactificación de $X-\{p\}$ es $X$, considerando la inclusión $i:X-\{p\}\hookrightarrow X$.

Examen del segundo parcial

En el examen del segundo parcial del día 24 no se va a preguntar "arco-conexión". Por tanto, el examen se corresponde con los temas 5 (separación y numerabilidad), 6 (compacidad) y 7 (topologías finales y cocientes).

Axiomas de separación y numerabilidad

En la recta real R, consideramos la topología que tiene como base la familia $\beta=\{(a,\infty);a\in \mathbb{R}\}$.

Estudiar si el espacio topológico satisface los axiomas de numerabilidad ANI y ANII. También si el espacio es normal.

Más sobre compacidad

Sea un espacio topológico $(X,\tau)$ y $\beta=\emptyset\cup\{O\in \tau;X - O\mbox{ es compacto en }(X,\tau)\}$. Probar que beta es base de una topología $\tau'$ y que está incluida en$\tau$. Además $(X,\tau')$ es compacto.

Compacidad y adherencia

Probar que en un espacio Haussdorff, la adherencia de conjunto compacto también es compacto.

Poner un contraejemplo de que no es cierto el resultado si el espacio no es Haussdorff.

Ejercicios para el final

Como las clases ya han acabado, he pensado que podemos continuar en blog proponiendo/resolviendo ejercicios. Hasta el examen del segundo parcial, vamos a considerar exámenes de los temas 5, 6 y 7.

Las soluciones tienen que aparecer en el blog, en los comentarios de cada una de las entradas.

El primero es el siguiente: se considera el conjunto [0,1]x R y la relación de equivalencia R que identifica los puntos con lasmismas ordenadas de las rectas {x=0} y {x=1}. Probar que el espacio cociente es homeomorfo a S^1 x R

Cosiendo los intervalos de la recta real

Definimos una relación de equivalencia en la recta de los números reales que identifica cada uno de los intervalos de la forma $[2n,2n+1]$ donde $n\in\mathbb{Z}$. Es decir, $xRy$ si existe $n$ tal que x e y pertenecen a algún intervalo de la forma $[2n,2n+1]$. Esta relación lo que hace es que dichos intervalos se convierten en un punto en el conjunto cociente, como si cosiéramos el intervalo; y los intervalos de la forma $(2n+1,2n)$ se dejan tal como están.

Es evidente que el espacio cociente es homeomorfo a $\mathbb{R}$. Para ello basta definir la aplicación f(x)=n, si x está en un intervalo de la forma $[2n,2n+1]$ y $f(x)=(x-1)/2$, si $x$ está en un intervalo de la forma $[2n+1,2n+2]$. Esta aplicación es continua y la relación $R_f=R$. Por otro lado, aparte de ser sobreyectiva, es cerrada (no es abierta). Así $f$ es una identificación, que induce un homeomorfismo entre $\mathbb{R}/R$ y $\mathbb{R}$

Clases, tutorías y exámenes

Como ya sabéis, el curso casi ha acabado. Hasta el primer parcial queda casi un mes, y el final, es ya metidos en julio.

Para aquellas personas que tienen alguna duda de la asignatura y quiera consultármela tiene las vías de siempre: correo electrónico, o quedar en el despacho. Mi consejo es que si no es un montón de dudas, un correo electrónico es más rápido y efectivo, ya que la respuesta es rápida.

Si alguien quiere mejor el despacho, porque así se explica más detenidamente, basta con concertar una hora por correo electrónico.

Generalización de un cono

En esta entrada vamos a dar el concepto de cono topológico.

Para motivar la definición, consideramos el (trozo de) cono dado por $C=\{(x,y,z);x^2+y^2=z^2, 0\leq z\leq 1\}$. Este conjunto lo podemos ver como cociente del cilindro $X=S^1\times[0,1]$ del siguiente modo. En X se define la relación de equivalencia que identifica todos los puntos del subconjunto $S^1\times\{0\}$. Veamos que X/R es homeomorfo a C.

Se define la aplicación $f:X\rightarrow C$ mediante $f(x,y,z)=(xz,yz,z)$. Es evidente que esta aplicación satisface $R_f=R$, pues, por un lado, $f(x,y,0)=(0,0,0)$ y por otra, si $f(x,y,z)=f(x',y',z')$, entonces z=z', y si z no es cero, entonces x=x' e y=y'. Y si z=0, entonces los puntos $(x,y,0)$ y $(x',y',z')$ pertenecen a $S^1\times\{0\}$.

Finalmente, la aplicación es continua, sobreyectiva y cerrada, ya que X es un compacto. Esto prueba que $X/R$ es homeomorfo a C.

Damos ya la definición de cono topológico. Dado un espacio topológico X, se define el cono de base X como el espacio cociente que se obtiene al identificar en el espacio producto $X\times [0,1]$ el subconjunto $X\times\{0\}$. El punto del conjunto cociente dado por la clase de $(x,0)$ se llama el vértice del cono.

Pegar dos "conjuntos iguales"

Sea $A$ un subconjunto de $\mathbb{R}^(n-1)$ y consideramos dos "copias" del mismo en R^n del siguiente modo: $X=(A\times\{0\})\cup(A\times\{1\})$. Definimos la relación de equivalencia R que identifica el punto (a,0) con $(a,1)$. Intuitivamente el espacio cociente $X/R$ consiste en pegar $A\times\{0\}$ con $A\times\{1\}$ y por tanto, el espacio cociente debe ser, por ejemplo, una copia de A. Veamos la demostración.

Se define la aplicación $f:X\rightarrow A$ definida por $f(a,t)=a$. Esta aplicación es continua y sobreyectiva. La relación de equivalencia asociada es $R_f$. Por otro lado, $f$ tiene una inversa continua por la derecha, a saber: $g(a)=(a,0)$. Por tanto, $f$ es una identificación y el espacio cociente $X/R$ es homeomorfo a $A$.

Por ejemplo, si tomo dos copias de un disco y pego uno sobre otro, lo que "queda" es de nuevo un disco.

Glosario, definitivamente

Antonio José e Ismael han acabado con el glosario de la asignatura, que se encuentra disponible ya en el blog.

Frisos y grupos cristalográficos

Los movimientos rígidos del plano están formados por traslaciones, rotaciones, reflexiones (respecto de una recta) y reflexiones seguidas de deslizamiento (con vector de deslizamiento paralelo a la recta de simetría). Consideremos una figura F del plano y G(F) el conjunto de movimientos del plano que dejan fija F, es decir, g(F)=F, con g\in G(F). Dada una figura F, existe un motivo M,
M\subset F tal que cuando hacemos actuar los movimientos de G(F), obtenemos F.

Si el grupo G(F) tiene un subgrupo de traslaciones T(F), entonces sólo cabe la posibilidad de que T(F) esté generado por una traslación no trivial, o por dos traslaciones linealmente independientes.

Tomamos ahora F como el plano euclídeo.

Un friso es un motivo que es repetido una y otra vez siguiendo una dirección U del plano. Por tanto, T(F) está generado por un elemento. Entonces existe un rectángulo que contiene al motivo del friso y uno de cuyos lados coincide con el vector U. Un friso puede verse como la acción de un grupo generado por una traslación sobre el plano. El espacio cociente por dicha acción es un cilindro. Hay sólo siete formas de generar un friso a partir de un motivo M mínimo. Podéis verlo aquí.

Un mosaico es un motivo que se repite en dos direcciones distintas del plano (las losetas necesarias para recubrir todo el plano). Un grupo cristalográfico es aquél que tiene como subgrupo de traslaciones el generado por dos traslaciones linealmente independientes. Los dos vectores U y V que generan dichas traslaciones determinan un paralelogramo fundamental (loseta). El grupo de traslaciones actúa sobre el plano dando como cociente un toro. Existen 17 grupos cristalográficos. En los mosaicos de la Alhambra de Granada es posible encontrar ejemplos de todos los grupos cristalográficos del plano.

Podéis ver más información sobre frisos y grupos cristalográficos en esta página web y en este artículo.

Abiertos en el cociente, abiertos saturados

En R se considera la relación xSy si x-y es un número entero. Sea p la aplicación proyección de R en R/S. Sabemos que la saturación de un conjunto A es R[A]=A+Z. Sea A=(0,1) y O=p(A). El conjunto A no es saturado, pero p(A) es un abierto en el cociente ya que si hacemos su imagen inversa mediante p, es decir, si calculamos su saturación, tenemos un abierto de R:

R[A]=p^{-1}(p(A))=A+Z=\cup_{n\in Z}(n+A)

y cada conjunto de la forma n+A es abierto pues es la traslación (un homeomorfismo) del conjunto A.

Si A es abierto, y si p(A) es abierto, ¿es que A es saturado? No. Lo que se sabe es que los abiertos en el cociente son las imágenes mediante p de abiertos saturados. Por tanto, p(A) es la imagen mediante de un cierto abierto saturado V: p(V)=p(A). Concretamente, V=A+Z.

También existen conjuntos A que no son abiertos, pero sí p(A), es decir, existen conjuntos no abiertos cuya saturación sí lo es. Esto ya se preguntó en el blog y ya se dieron ejemplos. En el caso anterior A=[0,1] no es abierto, p(A) sí es abierto, pues R[A]=R

Más sobre la botella de Klein

La profesora Marta Macho me ha enviado un mensaje donde me informa de un enlace de Cliff Stoll (http://www.kleinbottle.com/) donde se ve cómo al cortar la botella de Klein de cierta forma, se obtiene 2 bandas de Möbius. Lo podéis ver aquí

http://www.kleinbottle.com/sliced_klein_bottles.htm

No he podido subir al blog el vídeo que grabó Antonio José sobre qué queda al quitar una banda de Möbius de un plano proyectivo y de una botella de Klein. No es muy bueno ya que no se percibe las flechas que hizo Ana Isabel en los papeles que se trajo. Si os gusta como recuerdo,os lo envío bajo petición.

¿Se lleva bien la saturación y la topología?

Como en la entrada anterior, consideramos un espacio topológico X y una relación de equivalencia R. Denotamos por R[A] la saturación de un subconjunto (no trivial) A de X. Me pregunto por ejemplos no triviales (si los hubiera) de:

1. A es abierto pero R[A] no es abierto.
2. R[A] es abierto, pero A no es abierto.
3. A es cerrado pero R[A] no es cerrado.
4. R[A] es cerrado, pero A no es cerrado.
5. A es conexo pero R[A] no es conexo.
6. R[A] es conexo, pero A no es conexo.
7. A es compacto pero R[A] no es compacto.
8. R[A] es compacto, pero A no es compacto.

¿Se lleva bien la separación y el cociente?

Consideramos un espacio topológico $X$ y una relación de equivalencia $R$. Me pregunto por ejemplos no triviales (si los hubiera) de:

1. $X$ es $T_1$ pero $X/R$ no es $T_1$.
2. $X/R$ es $T_1$ pero $X$ no es $T_1$.
3. $X$ es $T_2$ pero $X/R$ no es $T_2$.
4. $X/R$ es $T_2$ pero $X$ no es $T_2$

Dos ejemplos "parecidos"

Se considera la base usual $B=\{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}$ y $B'=\{v_1,v_2\}$ otra base de $\mathbb{R}^2$. Se consideran las relaciones de equivalencia $R$ y $S$ definidas en $\mathbb{R}^2$ mediante: $(x,y)R(x',y')$ si $(x,y)-(x',y')=m e_1+n e_2$ y $(x,y) S (x',y')$ si $(x,y)-(x',y')=m v_1+nv_2 $, donde m y n son números enteros. El primer espacio cociente es $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ que es homeomorfo a $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\times \mathbb{R}\times \mathbb{Z}$, es decir, un toro. El segundo cociente es homeomorfo al primero. Para ello basta encontrar un homemorfismo de $\mathbb{R}^2$ en sí mismo que respete las relaciones $R$ y $S$ de forma que factorice, y la aplicación entre los cocientes sea homeomorfismo. El homeomorfismo que se busca es cualquier aplicación lineal que lleve una base en la otra. El hecho de ser lineal, implica que "respeta".

Un ejemplo parecido, pero no igual, es tomar $X=[0,1]\times [0,1]$ con la relación $R\times R$, donde $R$ identifica $0$ y $1$. El cociente es homeomorfo a $[0,1]/R \times [0,1]/R$, es decir, un toro. Sea ahora $Y=[0,2]x[1,4]$, con la relación $S\times T$, donde S identifica el $0$ y el $2$ y $T$ el $1$ y $4$. El cociente es de nuevo homeomorfo a $[0,2]/S \times [1,4]/T$, de nuevo el toro. Pero si la forma con la que queremos probar que este espacio cociente es homeomorfo a $[0,1]/R \times [0,1]/R$ estableciendo un homeomorfismo entre $X$ e $Y$ que factorice, este homeomorfismo (que tiene que respetar las relaciones $R\times R$ y $S\times T$), no tiene porqué ser lineal, sino cualquiera entre un cuadrado y un rectángulo que lleve "lados a lados".

Saturaciones de conjuntos

Os dejo aquí algunos ejercicios sencillos para que calculéis la saturación de conjuntos.

• Dado un conjunto $X$ y a un subconjunto suyo se considera la relación que identifica todos los puntos de $A$. ¿cuál es la saturación de cualquier subconjunto de $X$?
• En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y')$ si las diferencias $x-x'$ e $y-y'$ son números enteros. ¿cuál es la clase de equivalencia de un par $(x,y)$?
• En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y')$ si las diferencias $y-x^3=y'-x'^3$. ¿cuál es la clase de equivalencia de un par (x,y)?
• En la esfera $\mathbb{S}^n$, se considera la relación de ser iguales o antípodas. ¿cuál es la saturación de un subconjunto de S^n?
• En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y'$) si $x=x'$ ¿cuál es la saturación de un subconjunto de $\mathbb{R}^2$?
• En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y')$ si ó son iguales ó x=x'=1 ¿cuál es la saturación de un subconjunto de $\mathbb{R}^2$?

Hay un glosario de la asignatura

Los compañeros Antonio José e Ismael acaban de realizar un glosario de la asignatura. Sólo está incluidos aquellos términos correspondientes al primer cuatrimestre. Se encuentra en la columna de la derecha del blog.

Pido a los que lo veáis, que digáis posibles erratas y/o si falta algún concepto nuevo.

Los mismos autores están elaborando la parte correspondiente al segundo cuatrimestre, lo que completaría todo el curso.

La Alhambra y la botella de Klein

Sigo con la misma idea que la entrada anterior. Si queremos cubrir una pared (un plano) mediante una loseta (una baldosa) que vamos repitiéndola por medio de dos traslaciones linealmente independientes, hay 17 formas de hacerlo. Cada baldosa se construye con un motivo (pieza generatriz) a la que se le aplica movimientos rígidos del plano, hasta construir la baldosa. Si la pieza generatriz no tiene ninguna simetría (el caso más simple de grupo cristalográfico), entonces podemos ver nuestro mosaico como el conjunto cociente del plano R^2 mediante el grupo de dos traslaciones linealmente independientes. Dicho cociente es un toro.

Sin embargo, si la pieza generatriz tiene simetrías, los conjuntos cocientes puedes ser de varias formas. El grupo de simetría que tiene la figura es lo se llama grupo cristalográfico. En el primer ejemplo, este grupo es la identidad (después se le aplica el grupo de traslaciones en dos direcciones no proporcionales).

En la entrada anterior, se vio un ejemplo de mosaico cuyo cociente es la banda de Möbius. Hay otros mosaicos, cuyos cocientes son planos proyectivos, y botellas de Klein. El grupo cristalográfico de éste último se llama pg. Ver más información aquí.

En la Puerta del vino, en la Alhambra, hay un ejemplo de este mosaico, aunque algo deteriorado. Pongo un dibujo.

La Alhambra y la banda de Möbius

Es conocido la riqueza de mosaicos que existe en la Alhambra. Estos mosaicos se obtienen de pegar losetas (baldosas) en dos direcciones del plano linealmente independientes. La figura que aparece en cada loseta está generada por una región fundamental a la cual se le aplica giros y simetrías.

Hay muchas páginas de internet dedicadas a mosaicos. Por ejemplo, en http://www.math.arq.uva.es/GYCGA/Apuntes/raiz/raiz.html.

Cabe destacar los grupos cristalográficos, que nos dice una manera de construir mosaicos . Hay exactamente 17 grupos cristalográficos, los cuales todos se encuentra representados en la Alhambra en forma de mosaicos .

Quiero destacar uno de estos grupos, llamado cm. La loseta es en forma de rombo, y se obtiene de hacer un cociente en un toro. Al hacer reflexión sobre la recta R, el conjunto cociente es una banda de Möbius (ejercicio).

Ver más detalle aquí. Un mosaico de este tipo aparece en la Alhambra (columna de la derecha).

Cosiendo un círculo

Se ha probado que la recta proyectiva RP^1 es homeomorfa a $\mathbb{S}^1/R$, donde $R$ es la relación que identifica puntos antípodas. ¡ Cosamos pues un círculo mediante puntos antípodas!

En el siguiente dibujo se ve el proceso. Primero pegamos los dos puntos a, quedando dos círculos pegados por dicho punto. Después giramos 180 grados sólamente el círculo de abajo. Y finalmente, se dobla por la recta discontinua, haciendo coincidir cada pareja de puntos. El resultado que se obtiene es un círculo $\mathbb{S}^1$.

Quitando cilindros

Hemos visto hoy en clase que si quitamos un determinado cilindro a una botella de Klein queda dos bandas de Möbius.

Esto lo podemos hacer para otras superficies, como son una esfera, toro (superficies sin borde) y un cilindro (superficie con borde).

Una esfera menos un cilindro son 2 discos.

Un toro menos un cilindro es 1 cilindro.

Un cilindro menos un cilindro son 2 cilindros.

¡Es evidente la relación R_f!

Ante la observación hecha hoy por Renato de que la relación $R_f$ es la que es, vuelvo a comentar lo mismo: consideramos un espacio topológico $(X,T)$ y una relación de equivalencia $R$. Cuando nos estamos preguntando a qué espacio "conocido" es homeomorfo el espacio cociente $X/R$, nos estamos refiriendo a si somos capaces de hallar un espacio topológico $(Y,T')$, "el conocido", donde podamos establecer una identificación $f:X\rightarrow Y$ y de forma que la relación R_f coincida con la relación $R$. Salvo probar que f es una identificación, lo más difícil es encontrar el espacio Y, y la aplicación "pegado" f.

En el ejemplo hecho en clase, $[0,1]/\{0,1\}\cong \mathbb{S}^1$, la aplicación es $f(x)=(\cos(2\pi x),\sin(2\pi x))$.

En general, siempre que tengamos identificaciones, siempre tenemos un homeomorfismo entre $X/R$ y el espacio $Y$. A continuación pongo varios ejemplos. El dominio va a ser un espacio compacto, el codominio, un subconjunto de un espacio euclídeo, y por tanto, es Hausdorff. Esto nos dice que la aplicación es cerrada y por tanto, si restringimos a la imagen, la aplicación es una identificación. Pero ¿cuál es la relación $R_f$? ¿es "tratable"?

1. Sea $D$ el disco unida y $f(x,y)=x^2+y^2. Como la imagen es $[0,1]$, entonces $D/R_f\cong [0,1]$.
2. En el cuadrado $X=[0,1]\times[0,1]$, se considera $f(x,y)=x^2+y$. Ya que $f(X)=[0,2]$, entonces $X/R_f\cong [0,2]$.
3. Consideramos $f:[0,\pi]\rightarrow R$ dada por $f(x)=\sin(x)$. La imagen es $[0,1]$, luego $[0,\pi]/R_f\cong [0,1]$.

Recortando banda de Möbius

Tomamos una botella de Klein, como el conjunto cociente de un cuadrado. Quitamos una banda de Möbius. ¿qué tipo de superficie queda? Lo vemos en la siguiente figura, como un proceso de recortes y acciones de pegado.

La respuesta es: ¡otra banda de Möbius!. Más sobre la botella de Klein la podéis encontrar en http://www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/Klein2.html. También la podéis "tocar" aquí.

Tomamos ahora un plano proyectivo y como antes, quitamos una banda de Möbius. ¿qué queda ahora? Con un proceso parecido al de antes tenemos:

¡un disco! o una esfera a la que se le ha quitado un disco.

En la página web http://www.mathcurve.com/surfaces/planprojectif/planprojectif.shtml podéis ver diferentes representaciones del plano proyectivo, y en cada una de ellas, podéis manipularla. Por ejemplo, aquí.

De cualquier forma, existen numerosos vídeo en youtube.com sobre la botella de Klein y el plano proyectivo.

El cono como conjunto cociente del cilindro

Ya hemos comentado que hacer topologías cocientes es "pegar" a través de la relación de equivalencia. Exactamente, es como si cogiéramos los puntos que están relacionados entre sí y los pegáramos en un único punto (su clase de equivalencia). Si esto lo hacemos para subconjuntos de espacios euclídeos, con la topología usual, entonces la topología cociente se obtiene, efectivamente, de "pegar". Como ejemplo tenemos el siguiente, el cual podemos resumirlo diciendo: "el cono se puede obtener como conjunto cociente del cilindro".

Lo que se va a hacer es tomar un (único) círculo del cilindro y pegarlo (reducirlo) en un único punto. El espacio que queda es como si al cilindro le estrujáramos por el centro con la mano, convirtiendo el correspondiente círculo en un punto. Es natural pensar que el espacio que queda es homeomorfo al cono.

Tomamos el cilindro $X$ de ecuación $x^2+y^2=1$ y el cono $Y$ de ecuación $z^2=x^2+y^2$. En $X$ se define la relación de equivalencia R dada por dos puntos $(x,y,z)$, $(a,b,c)$ están relacionados si son iguales o $z=c=0$, es decir, si ambos puntos pertenecen al círculo de X a altura 0.

Consideramos el conjunto cociente $X/R$. Establecemos la siguiente aplicación $f:X\rightarrow Y$ mediante $f(x,y,z)=(zx,zy,z)$. Esta aplicación me lleva cada círculo del cilindro $X$ en el círculo del cono $Y$ a la misma altura. Observemos que el círculo de altura $0$ lo lleva al punto $(0,0,0)$ del cono.

Si denotamos por $R_f$ la relación de equivalencia determinada por $f$, es decir, $(x,y,z) R_f (a,b,c)$ si $f(x,y,z)=f(a,b,c)$, es fácil observar que la relación $R_f$ es la relación $R$. Como la aplicación es sobreyectiva, entonces f induce una aplicación biyectiva $f:X/R\rightarrow Y$.

La aplicación $F$ es un homeomorfismo. Por tanto, el cono se obtiene como espacio cociente del cilindro para una determinada relación de equivalencia.

Topología cociente - topología final

Sea (X,T) un espacio topológico y f:(X,T)\rightarrow Y una aplicación. Definimos la siguiente topología T_f en Y.

T_f=\{O'\subset Y;f^{-1}(O')\in T\}.

Esta topología se llama topología final en Y determinada por (X,T) y f. Esta topología tiene las siguientes propiedades (¡ejercicio!):

1. La aplicación f:(X,T)\rightarrow (Y,T_f) es continua.
2. La topología T_f es la topología más fina en Y que hace continua a f. Esto significa lo siguiente: sea T' otra topología en Y que satisface que la aplicación f:(X,T)\rightarrow (Y,T') es continua. Entonces T'\subset T_f.
3. Sea una aplicación g:(Y,T_f)\rightarrow (Z,T''). Entonces g es continua si y sólamente si g\circ f es continua.
   

Observemos que si la aplicación no es sobreyectiva, entonces la topología final induce en Y-f(X) la topología discreta.

Dada una relación de equivalencia R en un espacio topológico (X,T), la topología cociente es la topología final en el conjunto cociente X/R determinada por (X,T) y la aplicación proyección p:X\rightarrow X/R.

Topología cociente - topología producto

La topología cociente es, en cierto sentido, dual de la topología producto. En Topología, la topología cociente es un ejemplo de topología final, y la topología producto, un ejemplo de topología inicial. Veamos esas propiedades duales.

1. Sean espacios topológicos (X,T) e (Y,T') y el espacio topológico producto (XxY,TxT').

• Las aplicaciones proyecciones son continuas: p:(X\times Y,T\times T')\rightarrow (X,T) y p':(X\times Y)\rightarrow (Y,T').
• La topología TxT' es la topología menos fina en XxY que hace continuas a las aplicaciones proyecciones.
• Una aplicación f:(Z,T'')\rightarrow (X\times Y,T\times T') es continua si y sólamente sip\circ f y p'\circ f son continuas.

2. Sea un espacio topológico (X,T) y R una relación de equivalencia en X.

• La aplicación proyección p:(X,T)\rightarrow (X/R,T/R) es continua.
• La topología T/R es la topología más fina en X/R que hace continua a la proyección.
• Una aplicación f:(X/R)\rightarrow (Z,T') es continua si y sólamente si f\circ p es continua.

Espacios cocientes y embebimientos

Hemos definido varios conjuntos cocientes definiendo ciertas relaciones de equivalencia en un cuadrado X. Por ejemplo, hemos "definido" bandas de möbius, toros, cilindros, planos proyectivos, etc. Sin embargo, estos nombres ya han aparecido anteriormente.

Por ejemplo, un toro. Hemos definido un toro T como la superficie de un donuts. En el tema 3 vimos que T era homeomorfo al producto de dos círculos S^1 x S^1. Por tanto, cuando escribimos el conjunto cociente

¿Qué quiere decir que este conjunto X/R es un toro T?

Quiere decir que dicho conjunto cociente es homeomorfo al toro del espacio euclídeo, es decir, existe un embebimiento f:X/R\rightarrow R^3 tal que f(X/R)=T. Concretamente, ese embebimiento es el que aparece en la siguiente sucesión de figuras.

Cuando decimos que la botella de Klein no se puede embeber en el espacio quiere decir que no hay un embebimiento f del correspondiente conjunto cociente X/R en R^3. Las figuras que podéis ver en internet no son homeomorfas a la botella de Klein. Por ejemplo, en la entrada de ayer hay dos enlaces adecuados para ello.

La propiedad de embebimiento falla en el momento que la figura que aparece se autointerseca, pues entonces la aplicación f deja de ser inyectiva.

Hay que hacer dos observaciones. La primera es que lo mismo que le sucede a la botella de Klein pasa con el plano proyectivo. La segunda es que ambos espacios sí se pueden embeber en R^4.